Uma vara de massa de 6   k g e comprimento 0,8   m é colocada sobre as superfícies planas sem atrito, que formam ângulo reto, conforme mostra a Fig. 4.41. Determine a posição de equilíbrio e as forças de reações, em função do ângulo α .

Passo 1

E aí, beleza?? Considere a seguinte figura:

Para determinar as reações normais, vamos escrever o equilíbrio de forças na direção da barra e na direção perpendicular à barra:

N 1 cos ⁡ ( α + ϕ ) + P s e n ϕ = N 2 s e n α + ϕ

N 1   s e n α + ϕ + N 2 cos ⁡ ( α + ϕ ) = P cos ⁡ ( ϕ )

Para resolver esse sistema, multiplicamos a primeira equação por cos ⁡ ( α + ϕ ) e a segunda por sen ⁡ ( α + ϕ ) e somamos. Assim, eliminamos a força N 2 e ficamos com:

N 1 cos 2 ⁡ α + ϕ + sen 2 ⁡ ( α + ϕ ) = P cos ⁡ ϕ sen ⁡ ( α + ϕ ) - s e n ϕ cos ⁡ ( α + ϕ )

Ou seja:

N 1 = P   s e n   α + ϕ - ϕ ∴ N 1 = P   s e n α

Para resolver a equação para N 2 , basta fazer o contrário. Multiplicamos a primeira equação por sen ⁡ ( α + ϕ ) e a segunda por cos ⁡ ( α + ϕ ) e, então, subtraímos. Assim, ficamos com:

N 2 = P s e n ϕ sen ⁡ ( α + ϕ ) + cos ⁡ ( ϕ ) cos ⁡ ( α + ϕ ) = P cos ⁡ ( α + ϕ - ϕ )

Portanto:

N 2 = P cos ⁡ ( α )

Passo 2

Agora, para o ângulo ϕ , escrevemos o equilíbrio rotacional da barra em torno do ponto de contato da barra com a parede da direita:

N 1 l   s e n α + ϕ = P l 2 cos ⁡ ( ϕ )

Portanto:

cos ⁡ ( ϕ ) = 2   s e n α + ϕ s e n α = 2 s e n α s e n α cos ⁡ ϕ + s e n ϕ cos ⁡ ( α )

cos ⁡ ϕ = 2 s e n 2 α cos ⁡ ( ϕ ) + s e n ϕ s e n 2 α

Logo:

cos ⁡ ϕ 1 - 2   s e n 2 α = s e n ϕ s e n 2 α ∴ tan ⁡ ϕ = 1 - 2   s e n 2 α s e n 2 α = cos ⁡ ( 2 α ) s e n 2 α

tan ⁡ ( ϕ ) = c o t g 2 α

Resposta

N 1 = P   s e n α = 6   s e n ( α )   k g f

N 2 = P cos ⁡ ( α ) = 6 cos ⁡ ( α )   k g f

tan ⁡ ( ϕ ) = c o t g 2 α

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