Enunciado

Os vetores A → e B → estão no plano x y . A → tem módulo 8,00 e ângulo 130°, B → tem componentes B x = - 7,72 e B y = - 9,20 . (a) Detrmine 5 A → ⋅ B → . Determine 4 A → × 3 B → (b) em termos dos vetores unitários e (c) através do módulo e do ângulo em coordenadas esféricas. (d) Determine o ângulo entre os vetores A → e 4 A → × 3 B → . Determine A → + 3,00 k ^ (e) em termos dos vetores unitários e (f) através do módulo e do ângulo em coordenadas esféricas.

Passo 1

Belezera galerinha, como o enunciado nos deu o módulo do vetor A → e o ângulo que ele faz com o semi-eixo positivo x , podemos encontrar suas componentes, tais que:

A x = 8,00 cos ⁡ 130 °

A x = - 5,14

E no eixo y :

A y = 8,00 sen ⁡ 130 °

A y = 6,13

Logo, podemos escrever o vetor A → em termos dos vetores unitários:

A → = - 5,14 i ^ + 6,13 j ^

Portanto, os dois vetores A → e B → que iremos trabalhar, são:

A → = - 5,14 i ^ + 6,13 j ^ ,     B → = - 7,72 i ^ - 9,20 j ^

Passo 2

Sendo assim, na letra (a) queremos encontrar 5 A → ⋅ B → , tal que:

5 A → ⋅ B → = 5 - 5,14 - 7,72 + 5 6,13 - 9,20

5 A → ⋅ B → = 198 , 5 - 281,9

5 A → ⋅ B → = - 83 , 4

Já ne letra (b), queremos expressar o vetor 4 A → × 3 B → em termos dos vetores unitários, tal que:

4 A → × 3 B → = ( 4 ) ( 3 ) i ^ j ^ k ^ - 5,14 6,13 0 - 7,72 - 9,20 0

4 A → × 3 B → = 12 94,6   k ^

4 A → × 3 B → = 1135,2   k ^

4 A → × 3 B → ≈ 1,14 × 10 3   k ^

Passo 3

Belezoca, agora na letra (c), como nosso vetor resultante possui apenas componentes no eixo z :

4 A → × 3 B → ≈ 1,14 × 10 3   k ^

O seu módulo será o próprio valor contido nesse eixo, tal que:

4 A → × 3 B → = 1,14 × 10 3

Enquanto que os ângulos ϕ e θ que o vetor faz com o eixo z e o eixo x , respectivamente, será:

ϕ = 0 ° ,     θ = indefinido

Afinal o vetor está contido no eixo z e é perpendicular ao plano x y .

Passo 4

Belezoca, agora na letra (d), vimos que o vetor 4 A → × 3 B → é perpendicular ao plano x y , enquanto que o vetor A → está contido no plano x z , sendo assim, esses dois vetores também serão perpendiculares.

Dessa forma o ângulo entre eles será θ = 90 ° .

Resposta

  1. 5 A → ⋅ B → = - 83 , 4
  2. 4 A → × 3 B → ≈ 1,14 × 10 3   k ^
  3. 4 A → × 3 B → = 1,14 × 10 3 ,     ϕ = 0 ° ,     θ = indefinido
  4. θ = 90 °
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O vetor a → está no plano yz, faz um ângulo de 63,0 ° com o semieixo y positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 3,20 unidades. O vetor b → está no plano xz, faz um ângulo de 48,0 ° c
Na Fig. 3-38, o modulo de a é 4,3, o módulo de b é 5,4 e ϕ = 46 ° . Calcule a área do triangulo formado pelos vetores e a diagonal do paralelogramo.
Para os vetores A → , B → e C → indicados na Figura 1.34, ache os produtos escalares a) A → • B → ; (b) B → • C → ; (c) A → • C → .
3 . Vamos nomear três direções perpendiculares como direita, para cima e na sua direção, quando você está de frente para a TV, que fica em um plano vertical. Os vetores da unidade para essas direções
4 . O vetor A → está na direção y negativa, e o vetor B → , na direção x negativa. (i) Qual é a direção de A → × B → ? ( a ) nenhuma, porque ele é escalar ( b ) x ( c )– y ( d ) z (e) – z (ii) Qual é