Vimos vários exemplos do resultado geral de que o menor valor possível da energia total E , para uma partícula ligada em um potencial V x , está acima do valor mínimo de V x . Use o princípio da incerteza e dê um argumento qualitativo que explique por que isto deve ser assim.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeiro vamos ao argumento qualitativo. A equação independente do tempo é

d 2 ψ d x 2 = 2 m ℏ 2 V x - E   ψ

Se E < V m i n , então ψ e d 2 ψ / d x 2 tem sempre o mesmo sinal. Esse tipo de função não pode ser normalizada.

Pense assim: se ψ > 0 (função de onda positiva) então sua concavidade será para cima pois sua segunda derivada também será positiva. Isso significa que por um lado ou por outro essa função vai sempre crescer, de modo que não pode ser normalizada, não sendo um estado aceitável para um sistema quântico. Portanto, a hipótese E < V m i n nos leva a um resultado bizarro, de modo que ela está errada e não corresponde a uma situação possível.

Passo 2

O argumento usando o princípio da incerteza é o seguinte: supondo que E < V m i n , estamos considerando a partícula com baixa energia, de modo que ela deve se “mover pouco”, isto é, ter baixo momento e variar pouco sua posição. Mas isso faria com que conhecêssemos a posição e o momento com precisão, o que é impossível pelo princípio da incerteza.

Resposta

Demonstração.

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