Enunciado

Em um violoncelo, como a maioria dos outros instrumentos de corda, o posicionamento dos dedos pelo músico determina as frequências fundamentais das cordas. Suponha que uma das cordas de um violoncelo seja afinada para tocar um C médio (262 Hz) quando tocada em toda sua extensão. Em que fração essa corda deve ser encurtada para tocar uma nota que é o intervalo de um terço mais alto (a saber, um E, (330 Hz))? Que tal um quinto mais alto ou um G (392 Hz)?

Passo 1

Olá! Então, ele diz que há uma corda de violino que tem um comprimento que vamos chamar de L C e nesse comprimento, ela produz uma frequência de 262   H z (o C médio).

Aí ele pede a fração de quanto essa corda precisa ser encurtada para produzir a frequência de 330   H z ( E ) e de 392   H z ( G ).

A gente precisa ver que a corda do violino é uma corda presa nas duas extremidades. E quando a gente encurta essa corda pressionando um ponto, a gente muda seu comprimento, então para cada nova frequência, precisamos de um novo comprimento.

A relação entre comprimento e frequência fundamental dessa corda fixa nas duas extremidades é dada por

f = v 2 L → L = v 2 f

Apareceu a velocidade aí. Então vamos lembrar da definição de velocidade na corda:

v = T μ

Bora substituir uma na outra:

L = T μ 2 f

Beleza, a gente já sabe a relação entre comprimento da corda e frequência. Vamos usar essa bonita para saber a fração da corda inicial que a gente precisa encurtar para produzir as frequências que ele pede.

Passo 2

Nosso comprimento L C produz a frequência do C médio 262   H z . Vamos escrever essa expressão para o caso do C médio então

L C = T μ 2 f C → L C = T μ 2 262

Percebe que T e μ não tem índices, por que? Cara, μ é a densidade linear da corda, isso não muda quando a gente encurta a corda. E T é a tensão na corda. Podemos assumir que isso não muda também quando há encurtamento.

Queremos comparar esse comprimento com o comprimento que produz E , f E = 330   H z . Vamos escrever a relação entre comprimento e frequência para esse caso:

L E = T μ 2 f E → L E = T μ 2 330

Como queremos uma fração de L C que precisa ser reduzida, podemos fazer a razão entre nossas duas expressões para chegar nessa fração, assim:

L E L C = T μ 2 330 T μ 2 262 = 262 330 ≈ 4 5

L E = 4 5 L C

Essa é a fração da corda completa L C que vai produzir f E . Então precisamos encurtar L C o valor da fração complementar a essa, ou seja, precisamos tirar 1 / 5 de comprimento da corda.

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa para G , f G = 392   H z . Vamos escrever a relação entre f e L :

L = T μ 2 f

L G = T μ 2 f G → L G = T μ 2 392

Aí a gente faz a razão entre isso e a expressão de L C :

L G L C = T μ 2 392 T μ 2 262 = 262 392 ≈ 2 3

L G = 2 3 L C

Então precisamos encurtar 1 / 3 para ser tocado um G.

Resposta

Precisamos encurtar 1 / 5 para tocar um E, e 1 / 3 para ser tocado um G.

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