Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 1.1 - Ex. 74

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desse livro

Você e um amigo estão caminhando por uma região grande e plana e decidem determinar a altura de um distante pico de montanha, e também a distância horizontal entre vocês e o pico (Figura 1-19). Para isto, você se coloca em um ponto e verifica que sua linha de visada até o topo do pico é inclinada de 7,5 ° em relação à horizontal. Você também anota a orientação do pico com relação àquele ponto: 13 ° a leste do norte. Você se mantém na posição original e seu amigo caminha 1,5km para o oeste. Então, ele divisa o pico e verifica que sua linha de visiada tem uma orientação de 15 ° a leste do norte. Qual a distância da montanha à sua posição e qual a altura do pico em relação à de sua posição?

Passo 1

Fala! Então, aqui você e seu amigo, por alguma razão, querem a distância entre você e o pico e também a altura do pico da montanha.

Ele nos dá algumas informações geométricas para a gente chegar lá. Então o que vamos fazer é desenhar as situações que temos e ir montando equações como que a gente tira desses desenhos até chegar no resultado. Vamos na fé mesmo!

Vamos começar por desenhar a situação vista de cima pras coisas ficarem mais claras, ok?

Você e seu amigo estão separados por 1,5   k m . A visada (linha entre o observador e o ponto observado, no caso, o pico da montanha) do seu amigo faz 15 ° com a direção norte e a sua faz 13 ° com a direção norte. O desenho fica:

h é uma distância auxiliar que a gente colocou, para que apareçam triângulos retângulos na figura, β e α também são ângulos auxiliares. Primeiro queremos encontrar a distância A que separa você da montanha. E depois a altura da montanha, tá? Bora lá!

Passo 2

Olha comigo esses 2 triângulos retângulos que podemos destacar na figura:

Pelo triângulo em vinho, temos que:

sen ⁡ β = h B

h = B sen ⁡ β  

Pelo triângulo verde temos:

sen ⁡ α = h A

h = A sen ⁡ α

Podemos igualar as duas expressões para h :

A sen ⁡ α = B sen ⁡ β

E então:

B = sen ⁡ α sen ⁡ β A

Passo 3

Vamos continuar analisando os nossos 2 triângulos retângulos.

Para o triângulo vinho:

cos ⁡ β = D B

D = B cos ⁡ β

E para o triângulo verde:

cos ⁡ α = C A

C = A cos ⁡ α

Note pela figura também que:

1,5 = D - C

Substituindo as expressões de D e C que encontramos, temos:

1,5 = B cos ⁡ β - A cos ⁡ α

Mas lembra que no passo 2 encontramos:

B = sen ⁡ α sen ⁡ β A

E substituindo essa expressão que encontramos para B na nossa desse passo mesmo:

1,5 = sen ⁡ α sen ⁡ β A cos ⁡ β - A cos ⁡ α

1,5 = s e n   α cos ⁡ β sen ⁡ β A - A cos ⁡ α

Lembra que seno sobr cosseno é tangente, então se a gente tem o inverso disso, temos o 1 sobre tangente:

1,5 = s e n   α 1 tan ⁡ β A - A cos ⁡ α

1,5 = sen ⁡ α tan ⁡ β A - A cos ⁡ α

1,5 = A sen ⁡ α tan ⁡ β - cos ⁡ α

A = 1,5 sen ⁡ α tan ⁡ β - cos ⁡ α

Passo 4

Agora podemos olhar a figura e ver que:

α + 13 ° = 90 °         ⇒           α = 77 °

β + 15 ° = 90 °         ⇒           β = 75 °

E então podemos substituir esses valores de α e β na equação anterior e encontramos A :

A = 1,5 sen ⁡ 77 ° tan ⁡ 75 ° - cos ⁡ 77 ° = 41,51   k m

A ≅ 42   k m

Passo 5

E agora falta encontrar a altura do pico, H , acima da nossa posição. O enunciado diz que a nossa linha de visão até o pico forma um ângulo de 7,5 ° com o plano horizontal.

Olhando para esse triângulo retângulo temos:

tan ⁡ 7,5 ° = H A

H = A tan ⁡ 7,5 °

Já que sabemos que a distância entre nós e a montanha é A = 42   k m , podemos calcular essa altitude fazendo:

h = 42 tan ⁡ 7,5 ° ≅ 5,5   k m

Resposta

A distância até a montanha é A = 42   k m , e a altitude é 5,5   k m .

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