Enunciado

Você aproxima um tubo fechado de comprimento ajustável de um fio esticado de 85,0   c m de comprimento de de massa igual a 7,25   g sob uma tensão de 4110   N . Você quer ajustar o comprimento do tubo de modo que, quando ele produzir só em sua frequência fundamental esse som faça o fio vibrar em seu segundo sobretom com uma amplitude bastante grande. Que comprimento deve ter o tubo?

Passo 1

Beleza, a questão pede para encontrarmos o comprimento do tubo L , e diz para a gente que o segundo sobretom da onda no fio é igual ao modo fundamental da onda no tubo, assim:

f 1 t u b o = f 3 f i o

Como temos onda em uma corda, podemos usar a equação da velocidade da onda em uma corda:

v f i o = F μ

E já que o fio está esticado, suas duas extremidades estão presas, podemos usar a equação:

f n = n v f i o 2 L f i o

Como queremos o segundo sobretom:

f 3 = 3 v f i o 2 L f i o

Substituindo a velocidade:

f 3 = 3 F μ 2 L f i o

Substituindo μ = M L :

f 3 = 3 F M / L f i o 2 L f i o

Podemos colocar o comprimento que está no denominador para dentro se elevarmos ele ao quadrado:

f 3 = 3 2 F L f i o M L f i o 2

Cortando:

f 3 = 3 2 F M L f i o

Passo 2

O enunciado diz que o tubo está fechado em um lado, a equação para a frequência da onde de ar no tubo então é:

f n = n v t u b o 4 L t u b o

Como queremos o modo fundamental:

f 1 = v t u b o 4 L t u b o

E agora subsumimos essa equação e a última do Passo 1 na igualdade que fizemos lá do inicio para as duas frequências:

3 2 F M L f i o = v t u b o 4 L t u b o

Podemos isolar L t u b o que é o que queremos:

L t u b o = 2 12 v t u b o F M L f i o = 2 12 v t u b o M L f i o F

Substituindo os valores:

L t u b o = 2 12 ( 344   m / s ) 0,00725   k g ( 0,85   m ) 4110   N

L t u b o = 0,0702   m = 7,02   c m

Resposta

L t u b o = 0,0702   m = 7,02   c m

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