Enunciado

Você conseguiu um emprego em uma companhia que projeta e constrói nanomáquinas. Um engenheiro da empresa está projetando um oscilador microscópico para ajudar a medir o tempo, e você foi indicado para ajudá-lo na análise do projeto. O engenheiro pretende colocar uma carga negativa no centro de uma pequena espiral de metal carregada positivamente. Ele afirma que a carga negativa descreverá um movimento harmônico simples cuja frequência será determinada pela quantidade de carga sobre a espiral.

  1. Considere uma carga negativa próxima ao centro de um anel carregado positivamente. Mostre que existe uma força restauradora exercida sobre a carga quando ela se move ao longo do eixo z, mas permanecendo próxima ao centro, ou seja, mostre que existe uma força que tende a trazer a carga de volta para a posição z =   0
  2. Mostre que, para pequenas oscilações de amplitude ≪ R uma partícula de massa m e carga q efetuará um movimento harmônico simples com frequência dada por:
  3. f = 1 2 π q Q 4 π   ε 0 m R 3

    onde R e Q são, respectivamente, o raio e a carga do anel.

  4. Calcule a frequência de oscilação para um elétron no centro de um anel com 2,0   μ m de diâmetro carregado com 1,0 ×   10 - 13   C .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Sabemos que a força elétrica é dada por:

F = q E

E a força restaurado elétrica seria:

F = - q E

Assim, para o anel, precisamos achar o campo elétrico a um ponto de distancia do anel. Assim:

Assim:

E = E x + E y + E z

Veja que as componentes em x e y se cancela, sobrando somente em z, assim:

E = E z cos ⁡ θ

Assim:

E = 1 4 π ε 0   ∫ d q r 2 cos ⁡ θ

Veja que:

r 2 = R 2 + z 2

E:

cos ⁡ θ =   z r = z R 2 + z 2      

De modo que:

E = 1 4 π ε 0   ∫   z d q R 2 + z 2 3 2

Integrando de 0 ≤ q ≤ Q

E = z Q 4 π   ε 0   1 R 2 + z 2 3 2

Assim a força restaurador a é:

F r e s t = - q z Q 4 π   ε 0   1 R 2 + z 2 3 2

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para b)

F r e s t = - q z Q 4 π   ε 0   1 R 2 1 + z R 2 3 2

- q Q z 4 π   ε 0   1 R 3   1 + z R 2 - 3 2

Para z ≪ R

- q Q Z 4 π   ε 0   1 R 3   1 + z R 2 - 3 2 = - q Q z 4 π   ε 0   1 R 3  

O que é simplesmente alei de Hooke F = - k z , onde:

k = q Q 4 π   ε 0   1 R 3

E uma partícula que obedece a lei de Hooke em um um sistema harmônico simples é regida em:

f = 1 2 π k m

Assim:

f = 1 2 π q Q 4 π   ε 0 1 R 3 m = 1 2 π q Q 4 π   ε 0 1 m R 3

Passo 3

Para c)

Substituindo os valores:

f = 1 2 π q Q 4 π   ε 0 1 m R 3

f = 1 2 π 1 . . 0 × 10 - 13 C   ( 1.6 × 10 - 19   C ) 9.0 × 10 9     N m 2   C 2 - 1 9.11 × 10 - 31 k g   1 2 2 × 10 - 6   m

Concluímos que:

f = 2.0 × 10 12   H z

Resposta

Para a)

F r e s t = - q z Q 4 π   ε 0   1 R 2 + z 2 3 2

para c)

f = 2.0 × 10 12   H z

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