Enunciado

Você é convidado a realizar uma consulta médica em um hospital de pesquisa da cidade onde um grupo de doutores está pesquisando o bombardeio de tumores cancerosos por íons de alta energia. Os íons são atirados diretamente no centro do tumor com velocidades de 5,0 × 10 6   m / s . A fim de cobrir a área inteira do tumor, os íons são desviados lateralmente ao passarem entre duas placas metálicas eletrizadas, que aceleram os íons em uma direção perpendicular à de seus movimentos iniciais. A região de aceleração tem 5,0   c m de comprimento, e as extremidades das placas aceleradoras se encontram a 1,5   m do paciente. Que aceleração é necessária para desviar um íon 2,0   c m para um lado?

Passo 1

Beleza, vamos dividir o problema em duas partes e interpretar cada uma delas, a primeira é quando os íons entram nas placas, antes disso eles possuem velocidade constante na direção x e nenhuma na direção y , depois que entram na placa são acelerados verticalmente, já que o enunciado diz que as placas aceleram os íons em uma direção perpendicular às velocidades iniciais.

E quando saem, terão velocidade constante de novo mas agora com componente y além da componente x no inicio do processo.

Passo 2

Vamos escrever as equações do movimento para a primeira parte, desde a entrada na placa até a saída dela:

x 1 = x 0 + v 0 x t 1

A equação de movimento em x é essa porque a velocidade em x nunca vai mudar, já que as placas aceleradoras aceleram verticalmente os íons.

Em y fica:

v y = v 0 y + a t 1

Como no início do movimento, quando os íons entram entre as placas a velocidade da componente y é zero, então v 0 y = 0 , assim:

v y = a t 1

Já que não queremos o tempo que os íons levam dentro das placas, podemos substituir uma equação na outra depois de isolar t 1 :

t 1 = v y a

x 1 = x 0 + v 0 x v y a

Nessa equação a gente não tem nem a a e nem v y , vamos isolar v y para fazer ele sumir quando calcularmos a segunda parte:

v y = x 1 - x 0 v 0 x a  

Além disso, vamos supor que o zero do nosso sistema, está exatamente no ponto quando os ions entram nas placas, assim x 0 = 0 , e a equação fica:

v y = x 1 v 0 x a  

Passo 3

Agora vamos escrever as equações para a segunda parte

y = y 0 + v y t 2

x 2 = x 1 + v 0 x t 2

Ou seja, a posição inicial em x é a final da primeira parte, e o movimento passa a ser com velocidade constante em y que é a velocidade final da parte anterior.

Como y 0 = 0 :

y = v y t 2

Para esse caso o tempo também não interessa a gente, vamos substituir t 2 na equação do eixo x , usando a equação do eixo y :

t 2 = y v y

x 2 = x 1 + v 0 x y v y

Agora a gente substitui v y que calculamos antes:

x 2 = x 1 + v 0 x y x 1 v 0 x a  

E isolamos a :

a = v 0 x 2 y x 1 x 2 - x 1

Agora a gente substitui o tamanho das placas x 1 , a distância entre as placas e o paciente x 2 , a velocidade inicial v 0 x dos íons na direção x e o desvio na trajetória que é o valor de y :

a = ( 5,0 × 10 6   m / s ) 2 ( 0,02   m ) ( 0,05   m ) 1,5   m - 0,05   m

a ≅ 1,72 × 10 16

Resposta

a ≅ 1,72 × 10 16

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