Enunciado

52. Você foi designado para projetar um “sistema balístico de mola” com a finalidade de medir a velocidade de balas. Uma mola de constante elástica k é suspensa ao teto. Um bloco de massa M é preso a ela. Então, uma bala de massa m é disparada verticalmente contra ele, por baixo do mesmo. Mede-se, assim, a máxima compressão d atingida pela mola.

a . Obtenha uma expressão para a velocidade v B da bala em função de m ,   M ,   k e d .

b . Qual é a velocidade de uma bala de 10   g se a massa do bloco for de 2,0   k g e se a mola, com k = 50   N / m , for comprimida em 45   c m ?

Passo 1

Então galera, nesse problema temos uma colisão inelástica, então a bala depois de colidir com o bloco permanece grudada nele e assim temos um objeto de massa m + M .

Para encontrar o que o item ( a ) pede vamos usar a conservação do momento considerando o momento inicial antes da colisão e o momento final logo depois da colisão.

E vamos usar a conservação de energia mecânica, onde a energia inicial é dada pelo instante logo depois da colisão e a energia final é dada pelo instante em que a mola tem a máxima compressão.

Como estamos na vertical quando o bloco é preso mola ele realiza um deslocamento que vamos chamar de Δ y 1 da posição de equilíbrio y 0 da mola e depois que a bala atinge o bloco eles percorrem essa variação Δ y 1 e depois mais um deslocamento Δ y 2 da posição de equilíbrio y 0 .

Assim a compressão máxima da mola dada por d = Δ y 1 + Δ y 2 .

O item ( b ) é só pegar a expressão que encontramos em ( a ) e substituir os valores que o enunciado nos deu e encontrar o valor de v B .

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Então galera vamos começar fazendo a conservação do momento do nosso problema, temos o seguinte:

p i = p f

⇒ m v i m + M v i M = m + M v f

Como sabemos do enunciado a velocidade inicial do bloco é nula e temos que v i m = v B , assim temos:

m v B = m + M v f

v f = m v B m + M

Agora para continuarmos vamos para a conservação de energia nos instantes que falei no passo 1 .

Passo 3

Vamos então conservar essa energia, temos:

K i + U i = K f + U f

Levando em consideração os instantes que estamos considerando temos que a velocidade inicial da energia cinética inicial é igual a velocidade final que encontramos no passo anterior.

E não podemos esquecer que agora temos a energia potencial gravitacional, além da elástica. Então:

m + M v f 2 2 + 1 2 k Δ y 1 2 - m + M g Δ y 1 = m + M v f ' 2 2 + 1 2 k Δ y 2 2 + ( m + M ) g Δ y 1

A energia potencial inicial é negativa pois inicialmente o conjunto bala e bloco estão abaixo da posição de equilíbrio e a final é positiva pois o conjunto está acima da posição de equilíbrio.

Lembrando que a velocidade final v f ' = 0 , assim ficamos com:

m + M v f 2 2 + 1 2 k Δ y 1 2 - m + M g Δ y 1 = 1 2 k Δ y 2 2 + ( m + M ) g Δ y 1

⇒ m + M v f 2 + k Δ y 1 2 - 2 m + M g Δ y 1 = k Δ y 2 2 + 2 ( m + M ) g Δ y 1

⇒ m + M v f 2 + k Δ y 1 2 = k Δ y 2 2 + 2 ( m + M ) g ( Δ y 1 + Δ y 2 )

Agora vamos com calma, podemos descobrir quem é Δ y 1 pela segunda lei de Newton já que o bloco estava em equilíbrio com a mola antes da bala colidir com ele e temos que:

d = Δ y 1 + Δ y 2

⇒ Δ y 2 = d - Δ y 1

Então nossa expressão fica por enquanto da seguinte maneira:

m + M v f 2 + k Δ y 1 2 = k d - Δ y 1 2 + 2 ( m + M ) g d

Passo 4

Agora vamos encontrar a expressão para Δ y 1 e depois substituir na nossa expressão principal e substituir também o que encontramos para v f no passo 2 .

Temos o seguinte, o bloco e a mola estão em equilíbrio antes da colisão então pela segunda lei de Newton, temos:

M g - k Δ y 1 = 0

⇒ k Δ y 1 = M g

⇒ Δ y 1 = M g k

Agora substituindo isso que encontramos e o que eu comentei acima nossa expressão principal fica da seguinte maneira:

m + M m v B m + M 2 + k M g k 2 = k d - M g k 2 + 2 ( m + M ) g d

⇒ m 2 m + M v B 2 + k M g k 2 = k d - M g k 2 + 2 ( m + M ) g d

Agora vamos isolar v B , temos:

v B 2 = k d - M g k 2 m + M m 2 + 2 m + M g d m + M m 2 - k M g k 2 m + M m 2

= k d - M g k 2 m + M m 2 + 2 g d m + M m 2 - m + M m 2 M 2 g 2 k

Então temos que:

v B = k d - M g k 2 m + M m 2 + 2 g d m + M m 2 - m + M m 2 M 2 g 2 k 1 / 2

Nossa, essa expressão ficou bem grande!

Passo 5

Agora vamos em busca do item ( b ) .

O que temos que fazer aqui é pegar a expressão do passo anterior substituir os valores dados pelo enunciado e calcular v B , temos então o seguinte:

v B = k d - M g k 2 m + M m 2 + 2 g d m + M m 2 - m + M m 2 M 2 g 2 k 1 / 2

⇒ v B = 50 0,45 - 2 9,8 50 2 2,01 0,01 2 + 2 9,8 0,45 2,01 0,01 2 - 2,01 ( 0,01 ) 2 ( 2 ) 2 ( 9,8 ) 2 50 1 / 2

= 50 0,058 2 20100 + 8,82 201 2 - 7,6832 ( 20100 ) 1 / 2

3380,82 + 356336,82 - 154432,32 1 / 2

Então temos que:

v B = 453,08   m / s

Resposta

( a )

v B = k d - M g k 2 m + M m 2 + 2 g d m + M m 2 - m + M m 2 M 2 g 2 k 1 / 2

( b )

v B = 453,08   m / s

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