Enunciado

Um trenó parte do repouso do topo da colina hemisférica, coberta de neve e livre de atrito, mostrada na figura a seguir.

  1. Obtenha uma expressão para o módulo da velocidade do trenó quando sua posição angular é dada pelo ângulo ϕ .
  2. Use as leis de Newton para determinar a máxima velocidade que o trenó pode ter, para um dado valor de ϕ , sem perder contato com a superfície.
  3. Para que ângulo ϕ m a x o trenó “decola” da superfície?

Passo 1

Se liga! Vamos resolver o item (a).

No topo da colina o trenó está em repouso, ou seja, v i = 0 . Sendo assim, só tem energia potencial gravitacional. Pela conservação da energia, temos que

U i = K f + U f   .

A altura inicial é R . Sendo assim

U i = m g R   .

A altura final é R   c o s ϕ . Portanto

U f = m g   R cos ⁡ ϕ   .

A energia cinética é dada por

K f = m v f 2 2   .

Retornando para equação da conservação da energia mecânica, temos

m g R = m v f 2 2 + m g   R cos ⁡ ϕ   .

Isolando a velocidade temos

v f = 2 g R ( 1 - cos ⁡ ϕ ) .

Passo 2

Agora vamos resolver o item (b).

Para que o trenó se mantenha na trajetória semicircular é necessário que exista uma resultante centrípeta. Vamos descrever as forças. Se liga na figura.

A componente do peso na direção radial é dada por

P R = P   c o s ϕ = m g   c o s ϕ

Aplicando a 2ª Lei de Newton temos

m g   c o s ϕ - N = m v 2 R

Para que o trenó pare de tocar a colina e necessário que N → 0

Sendo assim, temos

m g   c o s ϕ = m v 2 R

⟹ v = g R   c o s ϕ   .

Passo 3

No item (c) queremos saber para que valor de ϕ o trenó sai da superfície da colina. Para saber onde isso acontece, basta igualarmos as velocidades encontradas nos itens (a) e (b).

2 g R ( 1 - cos ⁡ ϕ ) = g R   c o s ϕ

Elevando os dois lados ao quadrado, temos

2 g R 1 - cos ⁡ ϕ = g R   c o s ϕ

2 - 2 c o s   ϕ = c o s ϕ

c o s ϕ = 2 3

Agora podemos aplicar o arco-cosseno para achar o valor de ϕ .

ϕ = arccos ⁡ 2 3 = 48 °

Resposta

a )     v f = 2 g R 1 - cos ⁡ θ

b )   v = g R   c o s ϕ  

c )     ϕ = 48 °

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