Enunciado

Você é o novo engenheiro mecâncio da Motores Inc., e foi incumbido de projetar pistões de latão para deslizarem dentro de cilindros de aço. Os motores em que esses pistões serão usados irão funcionar entre 20 ° C e 150 ° C . Suponha que os coeficientes de dilatação se mantenham constantes nesse intervalo de temperatura.

(a) Se o pistão se encaixa perfeitamente na câmara a 20 ° C , os motores funcionarão em temperaturas mais altas? Explique.

(b) Se os pistões cilíndricos têm 25   c m de diâmetro a 20 ° C , qual deveria ser o diâmetro mínimo dos cilindros nessa temperatura para que os pistões funcionassem a 150 ° C .

α l a t ã o = 2 × 10 - 5

α a ç o = 1,2 × 10 - 5   ° C - 1

Passo 1

(a) Aqui é simples: vamos olhar para os coeficientes lineares dos materiais e ver quem se expanse mais rápido.

α l a t ã o = 2 × 10 - 5   ° C - 1

α a ç o = 1,2 × 10 - 5   ° C - 1

Como α l a t ã o > α a ç o , o material de latão se expande mais rápido que o material de aço. Isso porque esse coeficiente representa exatamente o quanto o material se expande a cada 1 ° C de variação.

Logo, como o pistão de latão está dentro do cilindro de aço, se os dois tivessem o mesmo tamanho na temperatura inicial, assim que aumentássemos essa temperatura, o pistão ficaria maior que cilindro de aço, o que não daria certo né?

Dessa forma, os motores não funcionariam.

Passo 2

(b) Para que tudo funcione à 150 ° C , os diâmetros do pistão e do cilindro, nessa temperatura, devem ser, no mínimo, iguais:

D p = D c

Vamos ver, pela fórmula de dilatação linear, quais as expressões para D p e D c :

D = D 0 1 + α ∆ T

Dessa forma, a gente relaciona o tamanho final ao inicial!

Onde D 0 é o tamanho inicial do objeto, α é o coeficiente de expansão linear do material, D é o tamanho final do objeto após variar a temperatura, ∆ T é a variação de temperatura que teremos, no caso iremos de 20 ° C para 150 ° C . Assim:

D p = D 0 p 1 + α l a t ã o ∆ T

D p = 25 c m 1 + 2 × 10 - 5   ° C - 1 150 ° C - 20 ° C

D p = 25 c m 1 + 2 × 10 - 5   ° C - 1 1 3 0 ° C

E:

D c = D 0 c 1 + α a ç o ∆ T

D c = D 0 c 1 + 1,2 × 10 - 5   ° C - 1 150 ° C - 20 ° C

D c = D 0 c 1 + 1,2 × 10 - 5   ° C - 1 130 ° C

Passo 3

Como já vimos:

D p = D c

Igualando as duas expressões que achamos:

25 c m 1 + 2 × 10 - 5   ° C - 1 130 ° C = D 0 c 1 + 1,2 × 10 - 5   ° C - 1 130 ° C

Queremos achar o diâmetro inicial do cilindro, então, vamos isolar D 0 c :

D 0 c = 25 c m 1 + 2 × 10 - 5   ° C - 1 130 ° C 1 + 1,2 × 10 - 5   ° C - 1 130 ° C

Fazendo essa conta:

D 0 c = 25,026   c m

Então, no mínimo, o diâmetro do cilindro a 20 ° C deve ser 25,026   c m .

Resposta

(a) Não, pois o latão expande mais que o aço.

(b) 25,026   c m

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