Enunciado

48 . Duas esferas com massas M e 2 M e raios R e 3 R , respectivamente, são liberadas a partir do repouso simultaneamente quando a distância entre seus centros é 12 R . Suponha que as duas esferas interajam apenas entre si e queremos encontrar a velocidade com que elas se chocam. ( a ) Quais são os dois sistemas isolados apropriados para esse sistema? ( b ) Escreva uma equação de um dos modelos e a resolva para v → 1 , a velocidade da esfera de massa M em qualquer momento após a liberação, quanto a v → 2 , a velocidade de 2 M . ( c ) Escreva uma equação para o outro modelo e a resolva para a velocidade v 1 com relação à velocidade v 2   para quando as esferas colidirem. ( d ) Combine as duas equações para encontrar as duas velocidades v 1 e v 2 para quando as esferas colidirem.

Passo 1

Vamos juntos detonar com essa questão!

Na situação que o enunciado nos descreve não temos a ação de nenhuma força que dissipe energia e como a colisão é elástica temos conservação de momento.

Então para o item ( a ) temos que os dois sistemas são onde temos a conservação de energia e o outro com a conservação do momento.

O item ( b ) quer que usemos um dos modelos para escrever uma equação que relacione v → 1 e v → 2 para isso vamos usar a conservação de momento, já que o momento linear é uma grandeza vetorial.

Então para o item ( c ) vamos usar a conservação de energia para relacionar v 1 e v 2 .

E depois a gente junta tudo e vais atrás do que o item ( d ) quer.

Passo 2

Vamos para o item ( b ) .

Na conservação de momento temos o seguinte:

M v → 1 i + 2 M v → 2 i = M v → 1 f + 2 M v → 2 f

Como as esferas partem do repouso o momento inicial é zero, assim:

0 = M v → 1 f + 2 M v → 2 f

⇒ v → 1 f = - 2 v → 2 f

Passo 3

Agora o item ( c ) .

Da conservação de energia temos:

K i + U i = K f + U f

Como elas partem do repouso a energia cinética inicial é zero, as energias potenciais são as gravitacionais, assim:

- G M 2 M 12 R = 1 2 M v 1 f 2 + 1 2 2 M v 2 f 2 - G M 2 M 4 R

⇒ - G M 6 R = 1 2 v 1 f 2 + v 2 f 2 - G M 2 R

⇒ 1 2 v 1 f 2 = - G M 6 R + G M 2 R - v 2 f 2

v 1 f = 2 G M 3 R - 2 v 2 f 2

Passo 4

Agora para o item ( d ) vamos juntar tudo e encontrar uma expressão para v 1 f e v 2 f .

Primeiro vamos substituir o que encontramos na conservação de momento, levando em conta que estamos em uma dimensão, na equação que chegamos com a conservação de energia, temos:

2 v 2 f = 2 G M 3 R - 2 v 2 f 2

Elevando os dois lados ao quadrado teremos:

4 v 2 f 2 = 2 G M 3 R - 2 v 2 f 2

⇒ 6 v 2 f 2 = 2 G M 3 R

Assim temos que:

v 2 f = G M 9 R = 1 3 G M R

Agora vamos substituir essa expressão na que chegamos com a conservação de momento

v 1 f = 2 3 G M R

Com isso a gente finaliza nossa questão!

Passo 5

( a )

Os sistemas isolados seriam com a conservação da energia e com a conservação do momento linear.

( b )

v → 1 f = - 2 v → 2 f

( c )

v 1 f = 2 G M 3 R - 2 v 2 f 2

( d )

v 2 f = 1 3 G M R

v 1 f = 2 3 G M R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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