1.

Um corpo é lançado diretamente para cima da superfície da Tera, com uma rapidez inicial de 4,0   k m / s . Qual é a altura máxima que ele alcança?

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

R T = 6,37.10 6   m

Resolução
2.

Um corpo é largado, a partir do repouso, de uma altura de 4 , 0   .   10 6   m acima da superfície da Terra. Se não existe resistência do ar, qual é sua rapidez ao atingir a Terra?

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

R T = 6,37.10 6   m

Resolução
3.

O gráfico abaixo representa a aceleração da gravidade (em m / s 2 ) em função da distância ao centro R   m de um asteroide esférico cujo raio é de 40   k m

(a) Calcule a velocidade de escape de um corpo neste asteroide.

(b) Até que distância da superfície irá o corpo se ele deixar a superfície do asteroide com uma velocidade radial de 100   m / s ?

Resolução
4.

Um corpo de massa m é lançado da superfície da Terra. Seja M a massa da Terra e R o raio da Terra. Despreze a resistência do ar.

a) Qual a velocidade mínima requerida para mandar o projétil a uma altura de 4 R acima da superfície da Terra? Dê sua resposta em função de M , R e G , onde G é a constante gravitacional.

b) Considere agora a situação onde o projétil se mantém em órbita circular em torno da Terra a uma altura de 4 R acima da superfície. Calcule o módulo da velocidade do projétil. Dê sua resposta em função de M , R e G .

c) Agora, calcule o módulo da velocidade de lançamento(a partir da superfície) necessária para que o projétil se mantenha em órbita circular a uma altura de 4 R acima da superfície terrestre. Dê sua resposta em função de M , R e G .

Resolução
5.

A figura mostra a energia potencial U r de um projétil em função da distância da superfície de um planeta de raio R s . Se o projétil é lançado verticalmente para cima com uma energia mecânica de - 2,0   × 10 9 J , quais são a sua energia cinética a uma distância r = 1,25 R s e b seu ponto de retorno em termos de R s ?

Resolução
6.

Uma partícula pontual de massa m está a uma distância 4 R da superfície de uma esfera de massa M e raio R , conforme ilustrado na figura abaixo. Se mantivermos a esfera fixa e soltarmos a partícula do repouso, deixando que a força gravitacional desloque a partícula em direção à esfera, com que velocidade a partícula atingirá a superfície da esfera? Nas respostas abaixo, G significa a constante universal da gravitação.

Resolução
7.

Um pequeno satélite descreve um movimento circular uniforme em torno de um planeta esférico, sob a ação da força gravitacional. A massa específica do planeta é uniforme. Indique a(s) alternativa(s) correta(s): No referencial do planeta, a energia mecânica é E   =   K +   U , onde:

a K = U ;  

b K = - U ;  

c U = 2 K ;  

d U = - 2 K ;  

e E = 0 ;  

f E = 2 U ;  

g E = - 2 U ;  

h E = - U 2 ;  

i E = U 2 ;  

j E = - K .  

Resolução
8.

a Uma partícula é lançada verticalmente a partir da superfície da Terra com velocidade de módulo v 0 . Ela atinge uma altura máxima h = 2 · 10 3   k m em relação ao solo. Desprezando efeitos de atrito, determine v 0 .

b Suponha um planeta de massa m segue uma órbita circular de raio R e período T ao redor de uma estrela de massa M . Denotando por G a constante gravitacional de Newton, calcule uma expressão para a razão T 2 / R 3 em termos de M e G .

( c ) Considere um anel de raio R e massa total m cujo centro está a uma distância H de uma partícula pontual de massa M , conforme ilustrado na figura abaixo. Calcule a força gravitacional que age na partícula de massa M , incluindo sua direção e sentido.

[Dica: Particione o anel em pequenos pedaços de massa infinitesimal e use argumentos de simetria para justificar que apenas uma componente da força é diferente de zero. Outra maneira de fazer o problema é calcular a energia potencial de interação e depois tomar a derivada em relação a H .]

Dados: G = 6 x 10 - 11 m 2 / K g . s   ; M T = 6 x 10 24   k g R T = 6 x 10 6   m

Resolução
9.

Para medir a massa de um planeta cujo raio é cinco vezes o raio da Terra, um astronauta deixa cair um objeto, a partir do repouso, a uma altura de 30 metros acima da superfície do planeta. Quando o objeto chega à superfície do planeta, sua velocidade é o dobro da velocidade que o objeto teria caso o mesmo experimento tivesse sido realizado na Terra. Qual é a massa desse planeta?

Resolução
10.

Consideramos um satélite de 1000 k g em uma órbita aproximadamente circular 640 k m acima da superfície da Terra. Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de 1,4 × 10 5 J por revolução orbital. Considerando o raio da Terra R T = 6370 k m , a massa da Terra M T = 5,98 × 10 24 k g e G = 6,67 × 10 - 11 m 3 / k g . s 2 .

  1. Quais são a velocidade e o período do satélite na órbita inicial?
  2. Calcule a energia mecânica do satélite na órbita inicial
  3. Usando a aproximação que a órbita do satélite se torna uma circunferência cujo raio diminui lentamente, determine a altitude e a velocidade ao final da revolução número 2000
  4. Determine o módulo da força restauradora média que a atua sobre o satélite.
Resolução
11.

Um satélite artificial da Terra passa de uma órbita circular de raio R para um órbita circular de raio 2 R . Durante a transição,

(a) A força gravitacional realiza um trabalho negativo, a energia cinética do satélite diminui e a energia potencial do sistema Terra-satélite aumenta

(b) a força gravitacional realiza um trabalho positivo, a energia cinética do satélite aumenta e a energia potencial do sistema Terra-satélite aumenta

(c) a força gravitacional realiza um trabalho positivo, a energia cinética do satélite aumenta e a energia potencial do sistema Terra-satélite diminui

(d) a força gravitacional realiza um trabalho positivo, a energia cinética do satélite diminui a energia potencial do sistema Terra-satélite aumenta

(e) a força gravitacional realiza um trabalho negativo, a energia cinética do satélite aumenta e a energia potencial do sistema Terra-satélite diminui

Resolução
12.

A figura abaixo ilustra um satélite de massa m que está em movimento em uma órbita elíptica ao redor de um planeta de massa M . O planeta encontra-se localizado em um dos focos da elipse (ponto F ). As distâncias mínima e máxima entre o planeta e o satélite são, respectivamente, D (distância entre o foco F e o ponto P , chamado periélio) e 5 D (distância entre o foco F e o ponto A , chamado afélio). Nestas condições:

(a) Determine a razão entre a energia mecânica do sistema no ponto A ( E A ) e a energia mecânica no ponto P ( E P ) , isto é, E A / E P .

(b) Calcule o módulo das velocidades do satélite nos pontos A ( v A ) e P ( v P ) .

Resolução

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