Movimento Relativo

Teoria Completa

Introdução

Imagine que você está andando de carro a 100 k m / h e tem outro carro, do seu lado, que está andando a 100 k m / h também:

Para um observador na beira da estrada, vocês estão se deslocando bem rapidamente. No entanto, você olha por sua janela e vê que o carro vizinho parece estar parado.

Como explicar isso?

É o que vamos aprender neste capítulo! Partiu?

Movimento Relativo

Imagine dois corpos A e B se movendo:

Vamos analisar o movimento que A faz com relação a B . Para isso, imagine que você vai se posicionar em cima do ponto B e vai observar tudo que A está fazendo.

Para analisar o ponto A vamos precisar fixar um eixo com a origem bem em cima do ponto B e chamá-lo de eixo móvel x ’ y ’ :

Nesse eixo, vamos ter o vetor posição do corpo A medido em relação ao corpo B :

r → A / B = x i ^ + y j ^

Onde, i ^ e j ^ são os vetores unitários ao longo do eixo x ’ y ’ e r → A / B é a posição relativa entre A   e   B .

Este vetor indica como o corpo A está posicionado quando você o observa a partir do ponto B . Observe que o vetor começa na origem do eixo móvel e chega no ponto que estamos analisando que é o corpo A .

Agora, temos que achar a posição absoluta dos pontos A e B . Mas o que seria posição absoluta? É aquela posição medida a partir de um eixo fixo localizado em um ponto de referência. Vamos chamar este eixo de eixo absoluto X Y e posicioná-lo fora dos pontos:

Depois que posicionamos nosso eixo absoluto em um ponto de referência, podemos achar os vetores posição do corpos A e B com relação a este eixo, assim:

Perceba que os vetores r → A e r → B começam na origem do eixo absoluto e chegam no respectivo ponto.

Se retirarmos os eixos vamos ter o seguinte:

É uma soma de vetores!!! E podemos obter a seguinte equação:

r → A =   r → B + r → A / B

O que essa equação nos diz? Que a posição absoluta do corpo A é igual a posição absoluta do corpo B mais a posição relativa de A com relação a B .

E se r → A for igual a r B → ?

r → A =   r → B + r → A / B   →       r → B =   r → B + r → A / B

r → A / B = 0

E isso quer dizer que os pontos estão na mesma posição!!!

Velocidade

E se quisermos saber a velocidade com que o corpo A se move com relação ao corpo B ? É só lembrar que a velocidade é a derivada da posição com relação ao tempo, então...

d r → A d t = d r → B d t + d r → A / B d t      

O que é a mesma coisa que:

v → A =   v → B + v → A / B

Isso quer dizer que a velocidade do corpo A é igual a velocidade do corpo B mais a velocidade do corpo A com relação a B .

Sabendo disso agora, por que o carro que estava do nosso lado lááá no exemplo do início do capítulo parecia estar parado?

Porque a velocidade de A era igual a velocidade de B , então:

v → A =   v → B + v → A / B       →         v → B   =   v → B + v → A / B

v → A / B = 0 →

Ou seja, a velocidade relativa entre eles é nula. Isso quer dizer que para os observadores dentro de um dos carros o outro carro está parado.

Aceleração

E a aceleração? Só fazermos o mesmo procedimento e derivarmos a equação da velocidade com relação ao tempo:

d v → A d t = d v → B d t + d v → A / B d t

O que é a mesma coisa que:

a → A =   a → B + a → A / B

Mudando o observador

Você deve estar se perguntando: e se eu quiser fazer ao contrário e analisar o movimento que o corpo B tem em relação ao corpo A ? É muito simples, é só colocar o eixo móvel com a origem em A :

E achar o vetor posição relativa sempre começando na origem do eixo e chegando no ponto que estou analisando:

Repare numa coisa muito importante: o nome do vetor mudou. Agora o vetor posição é r → B / A e não mais r → A / B . Isso é muito importante!!!

O vetor r → B / A indica a posição do corpo B com relação ao corpo A .

Vai aí uma dica para você não errar mais:

Show!!!

Vamos continuar no nosso caso em que o eixo móvel está posicionado bem em cima do corpo A ....

Ficou faltando acharmos a posição absoluta dos corpos:

Repare novamente que o vetor sempre começa na origem do eixo.

Vamos ter o seguinte:

Somando os vetores vamos ter a seguinte equação:

r → B =   r → A + r → B / A

Repare que antes do sinal de igual vem a posição do corpo que estou analisando que é o B . Isso também é importante!!!

Para sabermos a velocidade é só derivarmos a equação acima:

v → B =   v → A + v → B / A

E o mesmo processo para a aceleração:

a → B =   a → A + a → B / A

Beleza! Partiu praticar nos exercícios?

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 69, 2/190

O jato de transporte B está voando para o norte com uma velocidade v B = 600   k m / h quando uma aeronave menor A passa por baixo do transporte dirigida na direção 60 ° mostrada. Para os passageiros em b , no entanto, A aparenta estar voando lateralmente e movendo-se para leste. Determine a velocidade real de A e a velocidade que A aparenta ter em relação a B .

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Passo 1

A velocidade que A aparente ter para B é a nossa velocidade relativa v → A / B .

Quando o enunciado nos diz que ela parece ser lateral para B , quer dizer que o ângulo que ela faz com a horizontal é nulo.

Mas a velocidade “real” de A faz um ângulo de 60 ° com a vertical. Assim, podemos montar o seguinte esquema vetorial:

Passo 2

A questão praticamente acabou! Basta a gente usar apenas as relações trigonométricas:

v B = v A cos ⁡ 60 °

v A = v B cos ⁡ 60 ° = 600 1 2 = 1200 k m / h

E:

v A / B = v B t g 60 ° = 600 . t g 60 ° = 1039 k m / h

Resposta

v A = 1200   k m

v A / B = 1039   k m / h

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 69, 2/192

O trem A viaja com uma velocidade constante v A = 120   k m / h ao longo da estrada de ferro reta e horizontal. O motorista do carro B , antecipando a passagem de nível ferroviária C , diminui a velocidade do carro de 90   k m / h na taxa de 3   m / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do trem em relação ao carro.

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Passo 1

A velocidade do trem, v A , pode ser escrita como:

v → A = v → B + v → A / B

Assim, a velocidade relativa de A em relação a B é:

v → A / B   = v → A - v → B  

Passo 2

Podemos escrever o vetor v → A usando o ângulo de 15 ° :

v → A = 120 cos ⁡ 15 ° i ^ + s e n 15 ° j ^ k m / h

E o v → B :

v → B = 90 cos ⁡ 60 ° i ^ + s e n 60 ° j ^ k m / h

Assim:

v → A / B   = v → A - v → B  

v → A / B = 120 cos ⁡ 15 ° i ^ + s e n 15 ° j ^ - 90 cos ⁡ 60 ° i ^ + s e n 60 ° j ^

v → A / B = 70,9 i ^ - 46,9 j ^   k m / h

Passo 3

A aceleração relativa será calculada da mesma forma:

a → A / B = a → A - a → B  

Sendo que a aceleração do trem é nula: a → A = 0 → .

E:

a → B = - 3 cos ⁡ 60 ° i ^ + s e n 60 ° j ^

Por que negativo? Porque é uma desaceleração. Está agindo no sentido contrário ao movimento de B .

Assim:

a → A / B = a → A - a → B = 0 - - 3 cos ⁡ 60 ° i ^ + s e n 60 ° j ^ = 3 cos ⁡ 60 ° i ^ + s e n 60 ° j ^

a → A / B = 1,5 i ^ + 2,60 j ^   m / s 2

Resposta

v → A / B = 70,9 i ^ - 46,9 j ^   k m / h

a → A / B = 1,5 i ^ + 2,60 j ^   m / s 2

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 69, 2/193

Para o instante representado, o carro A tem uma velocidade de 100   k m / h , que está aumentando na taxa de 8   k m / h cada segundo. Simultaneamente, o carro B também tem uma velocidade de 100   k m / h enquanto contorna a curva e está reduzindo a velocidade na taxa de 8   k m / h cada segundo. Determine a aceleração que o carro B aparenta ter para um observador no carro A .

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Passo 1

Vamos primeiro analisar o carro A :

O enunciado diz que a velocidade do carro aumenta em 8   k m / h a cada segundo. Essa é a aceleração:

a A = 8 k m / h . s = 8 3,6 = 2,22   m / s 2

Passo 2

Agora vamos analisar B :

O carro B tem uma aceleração tangencial, já que a sua velocidade diminui, e uma centrípeta, já que faz uma curva:

a t = 8 k m / h . s = 8 3,6 = 2,22   m / s 2

A sua velocidade no instante considerado vale:

v B = 100 k m / h = 100 3,6 = 27,8   m / s

E a aceleração centrípeta:

a c t p = V 2 R = 27,8 2 300 = 2,57   m / s 2

Passo 3

Colocando todos os vetores em um mesmo plano:

Escrevendo o vetor a → B :

a → B = - 2,22 i ^ + 2,57 j ^

O vetor a → A :

a → A = 2,22 i ^

Assim, usando a nossa velha fórmula:

a → B = a → A + a → B / A

a → B / A = a → B - a → A = - 2,22 i ^ + 2,57 j ^ - 2,22 i ^

a → B / A = - 4,44 i ^ + 2,57 j ^   m / s 2

Resposta

a → B / A = - 4,44 i ^ + 2,57 j ^   m / s 2

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 70, 2/195

O carro A tem uma velocidade para a frente de 18   k m / h e está acelerando a 3   m / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do carro em relação ao observador B , que é levado em uma cadeira sem rotação sobre a roda-gigante. A velocidade angular Ω = 3   r p m da roda-gigante é constante.

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Passo 1

Novamente, vamos usar:

v → A = v → B + v → A / B

v → A / B   = v → A - v → B  

Onde v → A / B é a velocidade relativa entre os móveis.

Passo 2

Bom, a velocidade do carro é, em m / s :

v → A = 18 3,6 = 5 i ^   m / s

Passo 3

A frequência de rotação está em r p m . Para transformar para H z , basta dividir por 60 :

f = 3 60 = 1 20 = 0,05 H z

E a velocidade angular é:

Ω = 2 π f = 2 π 0,05 = 0,314   r a d / s

Passo 4

A velocidade v → B tem uma direção dada por:

Quanto vale o módulo de v → B ? Ele é dado por:

v → B = Ω R = 0,314 9

Assim:

v → B = 0,314 9 c o s 45 ° i ^ - s e n 45 ° j ^

Por que o sinal negativo em j ^ ? Porque a velocidade está com a componente vertical apontando para baixo.

Assim, podemos dizer que:

v → A / B   = 5 i ^ - 0,314 9 cos ⁡ 45 ° i ^ - s e n 45 ° j ^

v → A / B   = 3 i ^ + 1,99 j ^  

Passo 5

A única aceleração do móvel B é a aceleração centrípeta:

Seu módulo é dado por:

a → c t p = a → B = Ω 2 R = 0,314 2 9

E:

a → B = 0,314 2 9 ( - cos ⁡ 45 ° i ^ - s e n 45 ° j ^ )

E a aceleração de A ?

É só:

a → A = 3 i ^ m / s 2

Assim:

a → A / B = a → A - a → B = 3 i ^ - 0,314 2 9 - cos ⁡ 45 ° i ^ - s e n 45 ° j ^

a → A / B = 3,63 i ^ + 0,628 j ^   m / s 2

Resposta

v → A / B = 3 i ^ + 1,99 j ^   m / s

a → A / B = 3,63 i ^ + 0,628 j ^   m / s 2

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72, 2/206

O avião A está voando horizontalmente com uma velocidade constate de 200   k m / h e está rebocando o planador B , que está ganhando altitude. Se o cabo de reboque tem um comprimento r = 60   m e θ está aumentando na taxa constante de 5 graus por segundo, determine os módulos da velocidade v → e da aceleração a → do planador para o instante em que θ = 15 ° .

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Passo 1

Opa, vamos começar essa questão com uma reflexão: os dois aviões estão conectados por uma corda, certo?

O comprimento da corda se altera?

Não!

O que é relativo entre os dois aviões e se altera com o tempo?

O ângulo entre eles, que cresce a uma taxa de 5 ° / s .

Passo 2

Sabemos que:

v → B = v → A + v → B / A