Movimento Relativo

Teoria Completa

Introdução

Imagine que você está andando de carro a 100 k m / h e tem outro carro, do seu lado, que está andando a 100 k m / h também:

Para um observador na beira da estrada, vocês estão se deslocando bem rapidamente. No entanto, você olha por sua janela e vê que o carro vizinho parece estar parado.

Como explicar isso?

É o que vamos aprender neste capítulo! Partiu?

Movimento Relativo

Imagine dois corpos A e B se movendo:

Vamos analisar o movimento que A faz com relação a B . Para isso, imagine que você vai se posicionar em cima do ponto B e vai observar tudo que A está fazendo.

Para analisar o ponto A vamos precisar fixar um eixo com a origem bem em cima do ponto B e chamá-lo de eixo móvel x ’ y ’ :

Nesse eixo, vamos ter o vetor posição do corpo A medido em relação ao corpo B :

r → A / B = x i ^ + y j ^

Onde, i ^ e j ^ são os vetores unitários ao longo do eixo x ’ y ’ e r → A / B é a posição relativa entre A   e   B .

Este vetor indica como o corpo A está posicionado quando você o observa a partir do ponto B . Observe que o vetor começa na origem do eixo móvel e chega no ponto que estamos analisando que é o corpo A .

Agora, temos que achar a posição absoluta dos pontos A e B . Mas o que seria posição absoluta? É aquela posição medida a partir de um eixo fixo localizado em um ponto de referência. Vamos chamar este eixo de eixo absoluto X Y e posicioná-lo fora dos pontos:

Depois que posicionamos nosso eixo absoluto em um ponto de referência, podemos achar os vetores posição do corpos A e B com relação a este eixo, assim:

Perceba que os vetores r → A e r → B começam na origem do eixo absoluto e chegam no respectivo ponto.

Se retirarmos os eixos vamos ter o seguinte:

É uma soma de vetores!!! E podemos obter a seguinte equação:

r → A =   r → B + r → A / B

O que essa equação nos diz? Que a posição absoluta do corpo A é igual a posição absoluta do corpo B mais a posição relativa de A com relação a B .

E se r → A for igual a r B → ?

r → A =   r → B + r → A / B   →       r → B =   r → B + r → A / B

r → A / B = 0

E isso quer dizer que os pontos estão na mesma posição!!!

Velocidade

E se quisermos saber a velocidade com que o corpo A se move com relação ao corpo B ? É só lembrar que a velocidade é a derivada da posição com relação ao tempo, então...

d r → A d t = d r → B d t + d r → A / B d t      

O que é a mesma coisa que:

v → A =   v → B + v → A / B

Isso quer dizer que a velocidade do corpo A é igual a velocidade do corpo B mais a velocidade do corpo A com relação a B .

Sabendo disso agora, por que o carro que estava do nosso lado lááá no exemplo do início do capítulo parecia estar parado?

Porque a velocidade de A era igual a velocidade de B , então:

v → A =   v → B + v → A / B       →         v → B   =   v → B + v → A / B

v → A / B = 0 →

Ou seja, a velocidade relativa entre eles é nula. Isso quer dizer que para os observadores dentro de um dos carros o outro carro está parado.

Aceleração

E a aceleração? Só fazermos o mesmo procedimento e derivarmos a equação da velocidade com relação ao tempo:

d v → A d t = d v → B d t + d v → A / B d t

O que é a mesma coisa que:

a → A =   a → B + a → A / B

Mudando o observador

Você deve estar se perguntando: e se eu quiser fazer ao contrário e analisar o movimento que o corpo B tem em relação ao corpo A ? É muito simples, é só colocar o eixo móvel com a origem em A :

E achar o vetor posição relativa sempre começando na origem do eixo e chegando no ponto que estou analisando:

Repare numa coisa muito importante: o nome do vetor mudou. Agora o vetor posição é r → B / A e não mais r → A / B . Isso é muito importante!!!

O vetor r → B / A indica a posição do corpo B com relação ao corpo A .

Vai aí uma dica para você não errar mais:

Show!!!

Vamos continuar no nosso caso em que o eixo móvel está posicionado bem em cima do corpo A ....

Ficou faltando acharmos a posição absoluta dos corpos:

Repare novamente que o vetor sempre começa na origem do eixo.

Vamos ter o seguinte:

Somando os vetores vamos ter a seguinte equação:

r → B =   r → A + r → B / A

Repare que antes do sinal de igual vem a posição do corpo que estou analisando que é o B . Isso também é importante!!!

Para sabermos a velocidade é só derivarmos a equação acima:

v → B =   v → A + v → B / A

E o mesmo processo para a aceleração:

a → B =   a → A + a → B / A

Beleza! Partiu praticar nos exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 69, 2/190

O jato de transporte B está voando para o norte com uma velocidade v B = 600   k m / h quando uma aeronave menor A passa por baixo do transporte dirigida na direção 60 ° mostrada. Para os passageiros em b , no entanto, A aparenta estar voando lateralmente e movendo-se para leste. Determine a velocidade real de A e a velocidade que A aparenta ter em relação a B .

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Passo 1

A velocidade que A aparente ter para B é a nossa velocidade relativa v → A / B .

Quando o enunciado nos diz que ela parece ser lateral para B , quer dizer que o ângulo que ela faz com a horizontal é nulo.

Mas a velocidade “real” de A faz um ângulo de 60 ° com a vertical. Assim, podemos montar o seguinte esquema vetorial:

Passo 2

A questão praticamente acabou! Basta a gente usar apenas as relações trigonométricas:

v B = v A cos ⁡ 60 °

v A = v B cos ⁡ 60 ° = 600 1 2 = 1200 k m / h

E:

v A / B = v B t g 60 ° = 600 . t g 60 ° = 1039 k m / h

Resposta

v A = 1200   k m

v A / B = 1039   k m / h

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 69, 2/192

O trem A viaja com uma velocidade constante v A = 120   k m / h ao longo da estrada de ferro reta e horizontal. O motorista do carro B , antecipando a passagem de nível ferroviária C , diminui a velocidade do carro de 90   k m / h na taxa de 3   m / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do trem em relação ao carro.

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Passo 1

A velocidade do trem, v A , pode ser escrita como:

v → A = v → B + v → A / B

Assim, a velocidade relativa de A em relação a B é:

v → A / B   = v → A - v → B  

Passo 2

Podemos escrever o vetor v → A usando o ângulo de 15 ° :

v → A = 120 cos ⁡ 15 ° i ^ + s e n 15 ° j ^ k m / h