Apoios Elásticos

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Teoria

Introdução

Algumas estruturas que estivermos estudando, podem acabar tendo apoios elásticos, que nada mais são que apoios que se deformam. Para isso precisamos primeiro saber como identificar esses apoios, e em seguida saber como trata-los em estruturas isostáticas e hiperestáticas.

  • Os tipos de apoios elásticos.

    Podemos ter 3 tipos de apoios elásticos, que são.

    • Mola vertical (que pode ser representada por):
    • Mola horizontal (que pode ser representada por):
    • Mola para momentos fletores (que pode ser representada por):
  • As fórmulas para cálculo das deformações

    As fórmulas para cálculo da deformação das molas, são muito simples, e elas sempre serão somadas as deformações que já aprendemos calcular, elas basicamente se dividem em dois grupos. O primeiro grupo das molas verticais, ou horizontais, que podemos determinar a sua equação usando o nosso velho conceito de trabalhos virtuais, tendo dessa maneira que a nossa fórmula será dada por:

    W v i r t u a l   d a   m o l a = F ¯ δ

    Em que sabemos que F ¯ é a força na nossa mola no sistema com a carga unitária, e δ é a deformação na nossa mola, e lembra como determinar a deformação na mola pela física 1?

    F = K δ

    δ = F K

    E lembre-se que F é a força real que age na nossa mola, sendo assim podemos escrever a nossa fórmula como:

    W v i r t u a l   d a   m o l a = F ¯ F K

    E vamos ver que no futuro, para conseguirmos relacionar essa fórmula com o resto da conta, iremos precisar do termo E J c   então para já ficarmos tranquilos com isso podemos multiplicar ambos os lados da equação, obtendo assim a nossa fórmula final.

    E J c W v i r t u a l   d a   m o l a = E J c F ¯ F K

    E se seguirmos esse mesmo processo, conseguiremos chegar na fórmula final para o segundo grupo de molas, que são as molas do tipo engaste elástico, que podemos seguir da seguinte maneira.

    W v i r t u a l   d o   e n g a s t e   e l á s t i c o = M ¯ θ

    M = K θ

    θ = M K

    Logo

    W v i r t u a l   d o   e n g a s t e   e l á s t i c o = M ¯ M K

    Que multiplicando ambos os lados por E J c obteremos a nossa equação final dada por:

    E J c W v i r t u a l   d o   e n g a s t e   e l á s t i c o = E J c M ¯ M K

    Agora a pergunta mais importante é: como aplicamos esse conceito a uma estrutura isostática e uma estrutura hiperetática?

    As estruturas isostáticas

    Vamos supor que tenhamos o seguinte problema em mãos:

    E desejemos saber o valor da rotação em B. Como começaríamos a fazer isso?

    Passo 1 – transformar o sistema de molas em um sistema equivalente

    Nós não sabemos trabalhar bem com molas, mas sabemos trabalhar muito bem com apoios, por isso vale lembrar sempre a seguinte regrinha.

  • Molas verticais e horizontais sempre irão virar apoios do primeiro gênero
  • Molas do tipo engaste elástico sempre irão virar apoios com momentos fletores, podendo ser carrinhos ou engastes dependendo da situação.

No nosso exemplo, podemos ver que temos uma mola vertical do lado direito, que irá virar um apoio do primeiro gênero. E uma mola do tipo engaste elástico do lado esquerdo, que junto com o apoio do segundo gênero irá equivaler a um engaste.

Sendo assim a nossa estrutura equivalente será:

Passo 2 – desenhar o diagrama do carregamento real

Perceba que nesse nosso primeiro exemplo a estrutura de fato é isostática. E agora basta fazermos o que já sabemos para determinar a deformação normal dessa estrutura, sabemos que o primeiro diagrama a ser determinado é o de momentos fletores devido a carga real na nossa estrutura, que será dada por:

Perceba que também colocamos as reações de apoio que vão ser bem importantes pra gente.

A partir desse gráfico, podemos analisar cada item do enunciado separadamente.

Passo 3 – desenhar o diagrama do sistema com a carga unitária

  • Rotação a elástica do ponto B
  • Como já temos o diagrama com carregamento real, precisamos do diagrama colocando no ponto B um momento que represente a rotação a elástica em uma rótula, dessa maneira o nosso sistema será:

    E o diagrama será dado por:

    Passo 4 – Cálculo das deformações

    Se combinarmos esses dois diagramas vamos ter que:

    E J c δ 1 = - 1 6   .   L . M . 2 M B ¯ + M A ¯ + 1 3   .   L . M . M ¯ = - 1 6   .   6   .   24 . 2   .     2,5 + 1 + 1 3   .   4   .   4   . 1 = - 138,667

    Mas perceba que isso são as deformações apenas relativas ao diagrama de momentos, vamos agora contabilizar o que se refere as molas.

  • Deformação relacionada a mola em C
  • Como se trata de uma mola vertical, sabemos que a sua fórmula é dada por.

    E J c δ 2 = E J c F ¯ F K

    Sabemos que:

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 1 4   k N

    F = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 4   k N

    E J c = 10 4   k N m 2

    K = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   v e r t i c a l = 10 3 k N m

    Substituindo teremos que:

    E J c δ 2 = E J c F ¯ F K = 10 4 1 4   .     4 10 3 = 10

  • Deformação relacionada a mola em A
  • Como se trata de uma mola do tipo engaste elástico, sabemos que a sua fórmula é dada por.

    E J c δ 3 = E J c M ¯ M K

    Sabemos que:

    M ¯ = M o m e n t o   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = - 2,5   k N m

    M = M o m e n t o   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 24   k N

    E J c = 10 4   k N m 2

    K = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   e n g a s t e   e l á s t i c o = 10 4 k N m r a d

    Substituindo teremos que:

    E J c δ 3 = E J c M ¯ M K = 10 4 ( - 2,5 )   .     24 10 4 = - 60

  • Deformação total será a soma de todas as parcelas contribuintes da deformação.
  • E J c δ 1 + E J c δ 2 + E J c δ 3 = E J c δ t o t a l = - 138,667 + 10 - 60 = - 189

    E J c δ t o t a l = - 189

    δ t o t a l = 0,0189   r a d = 18,9   .   10 - 3 r a d

    A Estrutura hiperestática

    Nas estruturas hiperestáticas vamos seguir exatamente os mesmos princípios da estrutura isostática, mas lembrando algumas regrinhas.

    Para isso vamos ver um segundo exemplo.

    Já sabemos que a primeira coisa que devemos fazer é transformar esse sistema em um sistema equivalente.

  • Sabemos que molas verticais e horizontais viram apoios do primeiro gênero
  • Sabemos que molas do tipo engaste elástico viram apoios com momento

Dessa maneira nosso sistema equivalente será.

Perceba que esse sistema equivalente tem 1 apoio do terceiro gênero e 1 do primeiro gênero, totalizando 4 incógnitas. Sabemos também que temos as 3 equações de equilíbrio, e nenhuma rotula, sendo assim, teremos um total de 1 hiperestático, ou seja, precisamos usar as nossas regrinhas para estruturas hiperestáticas.

Sabemos que como temos um hiperestático, devemos quebrar um vínculo, e quebrando esse vínculo, a estrutura vai ser isostática. Sendo assim a nossa estrutura principal será dada por.

E perceba que daqui para frente as regras são todas as que já sabemos sobre estruturas hiperestáticas.

  • Diagrama da estrutura com o carregamento externo
  • Diagrama no sistema 1 com carregamento hiperestático unitário
  • E agora precisamos determinar as deformações, e aqui que temos que tomar cuidado. Vamos começar com a deformação zero:

  • Deformação δ 10
  • Sabemos que essa deformação vai ter a parcela relativa a combinação de diagramas, devido a mola vertical e devido a mola tipo engaste elástico, dessa maneira a nossa sequencia será dada por:

    Feita a contribuição dos diagramas, vamos fazer agora a analise e contribuição das molas:

    Agora só precisamos somar as duas parcelas contribuídas, e assim teremos que:

    E J c δ 1 0 = - 21,333 - 5 = - 26,33

  • Deformação δ 1 1

Sabemos que essa deformação vai ter a parcela relativa a combinação de diagramas, devido a mola vertical e devido a mola tipo engaste elástico, dessa maneira a nossa sequencia será dada por:

Feita a contribuição dos diagramas, vamos fazer agora a análise e contribuição das molas:

Agora só precisamos somar as duas parcelas contribuídas, e assim teremos que:

E J c δ 1 1 = 2,667 + 10,156 = 12,83

E agora, por fim, só precisamos resolver o nosso velho amigo sistema de equações que é dado por:

E J c δ 1 0 + E J c δ 1 1 X 1 = 0

Substituindo teremos que:

- 26,33 + 12,83 X 1 = 0

X 1 = 2,05   k N m

Determinação dos diagramas e das reações de apoio

Precisamos analisar os dois diagramas, e para isso devemos ter eles em mãos.

Para as reações de apoio usamos

R A = R 0 A + R 1 A X 1

R A = 4 - 1 8   .   2,05 = 3,74   k N

R B = R 0 B + R 1 B X 1

R B = 4 + 1 8   .   2,05 = 4,26   k N

Para os momentos teremos que

M A = M 0 A + M 1 A X 1

M A = 0 + 0   .     2,05 = 0

M B = M 0 B + M 1 B X 1

M B = 0 - 1   .     2,05 = - 2,05   k N m   ( t r a c i o n a   a s   f i b r a s   s u p e r i o r e s )

M C = M 0 C + M 1 C X 1

M C = 8 - 0,5   .     2,05 = 6,975   k N m

Passo 3 – desenhar o diagrama do sistema com a carga unitária

Passo 4 – Cálculo das deformações

A Estrutura hiperestática

Determinação dos diagramas e das reações de apoio

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a rotação do ponto A e o deslocamento vertical do ponto B da estrutura dada abaixo.

Passo 1

Nós não sabemos trabalhar bem com molas, mas sabemos trabalhar muito bem com apoios, por isso vale lembrar sempre a seguinte regrinha.

  • Molas verticais e horizontais sempre irão virar apoios do primeiro gênero
  • Molas do tipo engaste elástico sempre irão virar apoios com momentos fletores, podendo ser carrinhos ou engastes dependendo da situação.

No nosso exemplo, podemos ver que temos uma mola do tipo engaste elástico do lado esquerdo, que junto com o apoio do segundo gênero irá equivaler a um engaste.

Sendo assim a nossa estrutura equivalente será:

Passo 2

Perceba que nesse nosso primeiro exemplo a estrutura de fato é isostática. E agora basta fazermos o que já sabemos para determinar a deformação normal dessa estrutura, sabemos que o primeiro diagrama a ser determinado é o de momentos fletores devido a carga real na nossa estrutura, que será dada por:

Perceba que também colocamos as reações de apoio que vão ser bem importantes pra gente.

A partir desse gráfico, podemos analisar cada item do enunciado separadamente.

Passo 3

O primeiro objetivo é determinar a rotação do ponto A.

  • Rotação no ponto A
  • Como já temos o diagrama com carregamento real, precisamos do diagrama colocando no ponto A um momento que represente a rotação no ponto A:

    E o diagrama será dado por:

    E perceba que o diagrama nesse caso será zero. Mas as reações de apoio para nós serão importantes.

    Passo 4

    Perceba que se combinarmos os diagramas teremos que:

    E J c δ 1 = 0

    Mas perceba que isso são as deformações apenas relativas ao diagrama de momentos, vamos agora contabilizar o que se refere as molas, ou seja, em um primeiro momento isso pode parecer que a rotação será zero. Mas precisamos tomar cuidado, porque temos a mola, sendo assim teremos que.

  • Deformação relacionada a mola em A
  • Como se trata de uma mola do tipo engaste elástico, sabemos que a sua fórmula é dada por.

    E J c δ 2 = E J c M ¯ M K

    Sabemos que:

    M ¯ = M o m e n t o   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = + 1,0   k N m

    M = M o m e n t o   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = + 1600   k N m

    E J c = 10 5   k N m 2

    K = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   e n g a s t e   e l á s t i c o = 10 4 k N m r a d

    Substituindo teremos que:

    E J c δ 2 = E J c M ¯ M K = 10 5 ( + 1 )   .     1600 10 4 = 16000

  • Deformação total será a soma de todas as parcelas contribuintes da deformação.
  • E J c δ 1 + E J c δ 2 = E J c δ t o t a l = 0 + 16000 = 16000

    E J c δ t o t a l = 16000

    δ t o t a l = 1600 0 10 5   r a d = 0,16 r a d

    Passo 5

    O segundo objetivo é determinar o deslocamento vertical em B.

  • Deslocamento vertical no ponto B
  • Como já temos o diagrama com carregamento real, precisamos do diagrama colocando no ponto B uma carga vertical que represente o deslocamento no ponto B:

    E o diagrama será dado por:

    Passo 6

    Perceba que se combinarmos os diagramas teremos que:

    E J c δ 1 = 1 3   .   L . M . M ¯ = 1 3   .   8   .   1600   .   8 = 34133,33

  • Deformação da mola em A devido uma carga em B
  • Como se trata de uma mola do tipo engaste elástico, sabemos que a sua fórmula é dada por.

    E J c δ 2 = E J c M ¯ M K

    Sabemos que:

    M ¯ = M o m e n t o   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = + 8 , 0   k N m

    M = M o m e n t o   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = + 1600   k N m

    E J c = 10 5   k N m 2

    K = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   e n g a s t e   e l á s t i c o = 10 4 k N m r a d

    Substituindo teremos que:

    E J c δ 2 = E J c M ¯ M K = 10 5 ( + 8 )   .     1600 10 4 = 128000

  • Deformação total será a soma de todas as parcelas contribuintes da deformação.

E J c δ 1 + E J c δ 2 = E J c δ t o t a l = 34133,33 + 128000 = 162133,33

E J c δ t o t a l = 162133,33

δ t o t a l = 162133,33 10 5   m = 1,62   m

δ B = 1,62   m

Resposta

δ A = 0,16 r a d

δ B = 1,62   m

Exercício Resolvido #2

Determine o diagrama de deslocamentos verticais da viga dada abaixo, determinando pelo menos 3 pontos deslocados.

u s e   E J = 50   .   10 4

Passo 1

Antes de determinar qualquer coisa precisamos antes determinar os pontos que iremos determinar os deslocamentos, que nesse caso iremos usar estrategicamente os apoios e o ponto central da estrutura.

Passo 2

Em seguida sabemos que o que devemos fazer é determinar o sistema equivalente que iremos usar na nossa estrutura.

Como só temos molas verticais, teremos apenas apoios verticais, e como não temos forças horizontais, não iremos nós preocupar com o que ocorre na horizontal, sendo assim o nosso sistema será dado por:

Sabemos que antes de começar a usar qualquer fórmula precisamos garantir logo o nosso diagrama para esse sistema equivalente com o carregamento externo, sendo assim, teremos que o nosso diagrama será:

Passo 3

Agora precisamos descobrir o deslocamento de cada um dos pontos que tivermos definido. Perceba que como temos que descobrir os deslocamentos dos apoios, é melhor começarmos exatamente por eles, dessa maneira teremos que:

  • Apoio em A
  • Para descobrirmos o deslocamento vertical nele, precisamos por uma carga unitária no ponto em que queremos saber e na direção que queremos saber, dessa maneira teremos que:

    Perceba que esse diagrama será zero, logo, qualquer combinação entre diagrama será inútil para ver se tem deslocamento, pois já sabemos que nesse caso a combinação será zero.

    Em contra partida temos as reações de apoio que serão dadas por.

    Porque a reação de apoio é importante para nós? Exatamente porque sabemos que a fórmula para determinar a deformação na mola é:

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    Sabemos que:

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 1   k N ( p a r a   m o l a   A )

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 0   k N ( p a r a   m o l a   B )

    F = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 72   k N   ( p a r a   m o l a   A   e   B )

    E perceba que consideramos a contribuição das duas molas, é que nesse caso a reação em uma será zero, e por esse motivo será desprezada, mas substituindo o que temos na fórmula teremos que:

    K A = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   v e r t i c a l = 2   .   10 4 k N m

    E J = 50   .   10 4

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    E J c δ A = 50   .   10 4 1   .     72 2   .   10 4 + 50   .   10 4 0   .     72 5   .   10 3 = 1800

    E J c δ A = 1800

    δ A = 0,0036   m

  • Apoio em B
  • Para descobrirmos o deslocamento vertical nele, precisamos por uma carga unitária no ponto em que queremos saber e na direção que queremos saber, dessa maneira teremos que:

    Perceba que esse diagrama será zero, logo, qualquer combinação entre diagrama será inútil para ver se tem deslocamento, pois já sabemos que nesse caso a combinação será zero.

    Em contra partida temos as reações de apoio que serão dadas por.

    Porque a reação de apoio é importante para nós? Exatamente porque sabemos que a fórmula para determinar a deformação na mola é:

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    Sabemos que:

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 1   k N ( p a r a   m o l a   B )

    F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 0   k N ( p a r a   m o l a   A )

    F = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 72   k N   ( p a r a   m o l a   A   e   B )

    E perceba que consideramos a contribuição das duas molas, é que nesse caso a reação em uma será zero, e por esse motivo será desprezada, mas substituindo o que temos na fórmula teremos que:

    K B = c o e f i c i e n t e   d a   m o l a   v e r t i c a l = 5   .   10 3 k N m

    E J = 50   .   10 4

    E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

    E J c δ B = 50   .   10 4 0   .     72 2   .   10 4 + 50   .   10 4 1   .     72 5   .   10 3 = 7200

    E J c δ B = 7200

    δ B = 0,0144   m

    Passo 4

  • Deformação em C

Para descobrirmos o deslocamento vertical nele, precisamos por uma carga unitária no ponto em que queremos saber e na direção que queremos saber, dessa maneira teremos que:

Agora nesse caso iremos ter sim diagrama, e nesse caso o diagrama junto com as reações de apoio será dado por:

E devemos combinar ele com o diagrama de carregamentos reais que é dado por:

É usando a nossa tabela de combinações, sabemos que a combinação desses dois diagramas resulta em:

E J c δ C = 1 3   .   L   1 + α β L 2 . M . M ¯ = 1 3   .   12   .   1 + 6   .     6 12 2 . 216   .   3 = 3240

E J c δ C = 3240

δ C 1 = 0,00648   m

Também temos as reações de apoio que serão dadas por.

Porque a reação de apoio é importante para nós? Exatamente porque sabemos que a fórmula para determinar a deformação na mola é:

E J c δ A = E J c F ¯ A F A K A + E J c F ¯ B F B K B

Sabemos que:

F ¯ = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a = 0,5   k N ( p a r a   m o l a   A   e   B )

F = f o r ç a   n a   m o l a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l = 72   k N   ( p a r a   m o l a   A   e   B )