Método das forças – O sistema de equações e incógnitas

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Teoria

Introdução

O método das forças será usado para determinação do diagrama de momentos, reações de apoio, diagrama de cortantes e normais, tudo isso, em estruturas hiperestáticas. Como vimos até aqui, descobrimos como calcular tudo isso em estruturas isostáticas. Mas agora com esse esquema vamos aprender a fazer isso nas estruturas hiperestáticas.

Conceito

O conceito em si não é muito complicado, mas é necessário ter muito cuidado na hora de executá-lo. Para ficar bem simples, vamos resolver um exemplo numérico para que assim possamos entender bem como podemos resolver o nosso problema.

Suponha que você tenha que definir as seguintes coisas com relação a essa estrutura:

  • Graus de hiperestaticidade
  • Reações de apoio
  • Diagrama de momentos fletores

Agora vamos ver no nosso passo a passo como usar o método das forças.

Passo 1

Você já deve imaginar que resolver problemas isostáticos é mais fácil do que hiperestáticos, não é mesmo? O nosso conceito hoje é transformar uma estrutura hiperestática em uma estrutura isostática. Para eu saber o que a minha estrutura hiperestática precisa para se tornar isostática, eu preciso saber qual o grau de hiperestaticidade da nossa estrutura. Então vamos lá:

  • Hiperestáticos totais pelo macete
  • n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç e s  

    • Sabemos que temos 1 apoio do terceiro gênero e 1 do segundo gênero, totalizando 5 incógnitas externas
    • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
    • Temos 3 equações de equilíbrio
    • Não temos rótulas

    n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 5 + 0 - 3 = 2  

    Ou seja, nossa estrutura possui dois graus de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é ai que mora o segredo, podemos quebrar quaisquer dois vínculos da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

    Passo 2

    Como eu disse, podemos quebrar dois vínculos da estrutura, e substituir esses vínculos por hiperestáticos de reação, sacou a jogada? Eu tiro o vinculo para a estrutura se tornar isostática, mas coloco uma reação, relacionada àquele vinculo quebrado, exatamente para que a estrutura continue se mantendo de maneira coerente, e como disse, podemos quebrar quaisquer dois vínculos que a nossa estrutura tenha, como o exemplo abaixo.

    Perceba que eu quebrei um vínculo do apoio do segundo gênero da direita que travava deslocamento horizontal, e no lugar coloquei um hiperestático, que chamei de X1 no lugar.

    No apoio do terceiro gênero da esquerda, quebrei um vinculo de momento, e coloquei no lugar um hiperestático que compensasse a quebra que fiz, ou seja, coloquei um hiperestático de momento que chamei de X2. E agora eu tenho uma estrutura isostática com ação de dois hiperestáticos nela.

    E perceba que eu poderia por exemplo, quebrar dois vínculos do apoio de terceiro gênero e passar a ter um apoio do primeiro gênero na esquerda e um do segundo gênero na direita. Ou quebrar os dois vínculos do apoio do segundo gênero da direita e ter apenas um apoio do terceiro gênero. Eu tenho inúmeras possibilidades, e todas darão a mesma resposta e seguirão o mesmo passo a passo, beleza? Então bora prosseguir.

    Passo 3

    O sistema isostático que definimos no passo anterior é muito importante, porque agora tudo vai girar em torno dele. Porque pensa no seguinte: antes nós tínhamos um sistema hiperestático todo travado e que não conseguíamos resolver, agora, temos um sistema em que liberamos alguns movimentos, mas travamos por força. No entanto, lembre-se que por exemplo, todo movimento que houver na horizontal, na estrutura isostática, no ponto 1 (ponto em que está o hiperestático 1) na verdade não existe na estrutura hiperestática.

    Então é ai que reside o cuidado que vamos ter que tomar com a nossa equação. Primeiro temos que definir o número de sistemas que temos, e é bem fácil, é simplesmente o número de hiperestáticos +1 ( esse +1 é o próprio sistema principal com o carregamento do enunciado).

    n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

    No nosso caso temos 3 sistemas que são:

    Perceba que o sistema principal zero, possui apenas o carregamento, o sistema principal 1, possui apenas o hiperestático 1, e o sistema principal 2, possui apenas o hiperestático 2. E perceba que os ponto que tem os hiperestáticos eu chamei de 1 e 2 em todos os sistemas, isso você vai ver que facilita muito a nossa vida, e agora é que vem o passo maneiro.

    Passo 4

    Lembra que no passo anterior eu disse que na estrutura isostática nos vamos permitir movimentos que não deveriam ser permitidos? Vamos mapear esses movimentos que não existiam e passaram a existir, em cada um dos sistemas, e pra isso é bom saber como vamos nomear isso, que é da seguinte maneira:

    Por exemplo:

    Feito isso, se fizermos o mapeamento teremos que:

  • Sistema zero
    • δ 10
    • δ 20
  • Ponto 1
    • δ 11
    • δ 21
  • Ponto 2
    • δ 12
    • δ 22
  1. Passo 5
  2. E pensa comigo, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10 e δ 20 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar os meus hiperestáticos X1 e X2 como sendo valores unitários agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 , δ 12 , δ 21   e   δ 22 para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real. Tá, talvez possa ter parecido embolado, mas é isso aqui que quero dizer:

  • Para o ponto 1
  • Para o ponto 2
  • E perceba que o número de equações sempre vai ser igual ao número de hiperestáticos.

  • Passo 6
  • Logo o nosso sistema de equações para esse problema será:

    δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0

    E desse sistema precisamos tirar os valores de X1 e X2, ou seja, o método das forças vai nos das as forças dos vínculos que quebramos na nossa estrutura, mas o que você pode estar na dúvida agora é, se o objetivo é determinar X1 e X2, como raios vamos determinar os valores de δ ?

    É exatamente isso que vamos ver na parte II de método das forças, nessa parte 1 aprendemos como determinar o sistema de equações que resolve o nosso problema.

  • Fique ligado
  • É muito importante perceber que o número de equações e termos varia com o número de graus de hiperestaticidade.

    O número de equações sempre vai ser dado pelo número de incógnitas, ou melhor, pelo numero de hiperestáticos.

    Já o número de termos por fórmula será dado pelo numero de hiperestáticos +1, em resumo vamos ter isso aqui.

  • 1 hiperestático

    • 1 equação
    • 2 termos
    • δ 10 + δ 11 X 1 = 0
  • 2 hiperestático

    • 2 equação
    • 3 termos
    • δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0
  • 3 hiperestático

    • 3 equação
    • 4 termos
    • δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 = 0 δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 = 0

E agora, tendo entendido como é bem tranquilo montar o nosso sisteminha a ser resolvido, bora fazer mais exercícios pra ficar craque em Montar o nosso sistema, e quando já estivermos bem treinado nisso, vamos para parte 2 dessa aula que vai mostrar como resolver o sistema.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 2 apoios do segundo gênero, totalizando 4 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 4 + 0 - 3 = 1  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

Passo 2

Quebrando um vinculo horizontal de algum dos apoios, teremos o seguinte modelo estrutural a ser analisado.

E veja que já chamei ele de X1

Passo 3

O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar, e sabemos que o número de sistemas é dado pela fórmula

n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

Com isso fica bem simples determinar o nosso numero de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestático.

Com isso teremos:

n º   d e   s i s t e m a s = 1 + 1 = 2

Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento.

E temos o segundo sistema, que é onde vai estar o nosso hiperestático, ou seja, o nosso X1, que podemos definir da seguinte maneira:

Logo em resumo temos isso aqui

Passo 4

Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre no sistema 1, e no sistema 0 irão se anular, ou seja, podemos escrever que a deformação no ponto 1 e que ocorre no sistema 0 é dada pelo termo

δ 10

E que a deformação que é dada no mesmo ponto 1 mas agora no sistema 1 pode ser escrito como:

δ 1 1

E como não temos um ponto 2 com hiperestático, não precisamos nos preocupar com mais nenhum termo, esse do nosso problema já está resolvido.

Ou seja, agora precisamos apenas tomar cuidado em relacionar esses caras.

Passo 5

E agora entra nosso pulo do gato, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar o meu hiperestático X1 como sendo de valor unitário agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real, que é basicamente fazer isso aqui.

δ 11 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

E como eu abri o sistema hiperestático para um movimento que não existia, e quero que todos os sistemas funcionem iguais, eu tenho eu garantir que o conjunto seja igual a zero, ou seja:

δ 1 0 + δ 11   .   X 1 = 0

E podemos escrever o nosso sistema como:

X 1 = - δ 10 δ 11

E assim temos o nosso sistema a ser resolvido.

Resposta

X 1 = - δ 10 δ 11

Ou

δ 10 + δ 11   .   X 1 = 0

Exercício Resolvido #2

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Fala, pessoal!! Vamos resolver um exercício aqui sobre método das forças. Esse problema não pede para acharmos o resultado final (valor das reações nos apoios), pede apenas para encontrarmos as equações que nos levarão a esse resultado, beleza?

Para achar essas equações a gente tem que lembrar de dividir esse problema hiperestático em problemas isostáticos, que são mais simples. Além disso, vamos ter de utilizar aquele conceito das deformações:

Esse conceito é a parte fundamental do nosso problema e saber utilizá-lo corretamente fará toda a diferença!

Então vamos seguir nosso passo a passo para resolver com calma.

Passo 2

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 3 apoios do segundo gênero, totalizando 6 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 6 + 0 - 3 = 3  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, sendo assim, nós precisamos abaixar dois graus da nossa estrutura, transformando-a em uma estrutura em isostática. É exatamente isso que vamos fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar quaisquer dois vínculos da nossa estrutura, desde que ela fique isostática (ou seja, a nossa estrutura deve permanecer em equilíbrio, não pode cair kkkk).

Passo 3

Para obter uma estrutura isostática vamos fazer o seguinte: retirar completamente um dos apoios e colocar duas forças (uma horizontal e outra vertical) em seu lugar; e transformar o outro apoio num apoio de primeiro gênero com uma força horizontal. Sendo assim vamos ter o seguinte:

Onde os hiperestáticos são X 1 , X 2 e X 3 .

Passo 4

O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar. O número de sistemas é dado pela fórmula

n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

Com isso fica bem simples determinar o nosso número de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestáticos.

Com isso teremos:

n º   d e   s i s t e m a s = 3 + 1 = 4

Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento. Mostrando os sistemas vamos ter:

Passo 5

Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre nos sistemas 0, 1, 2 e 3 irão se anular.

As nossas equações então vão relacionar o ponto com o sistema. Numerando os apoios de 1, 2 e 3 da esquerda para a direita vamos ter.

Repare que não temos nenhuma deformação no apoio de segundo gênero, isso acontece porque esse tipo de apoio não permite deformação. Sendo assim vamos ter apenas os seis δ relacionados acima.

Passo 6

Pessoal, a gente tem que lembrar que o nosso δ é uma deformação unitária, enquanto os nossos hiperestáticos X são as cargas reais. Então a deformação real, que é nula, é dada pela soma de cada parte:

∑ δ . X = 0

Como dividimos o problema a soma de cada parte tem que ser igual ao problema original. Sendo assim vamos ter:

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 + δ 23 . X 3 = 0

δ 30 + δ 31 . X 1 + δ 32 . X 2 + δ 33 . X 3 = 0   ( x )

δ ' 30 + δ ' 31 . X 1 + δ ' 32 . X 2 + δ ' 33 . X 3 = 0   ( y )

Pessoal, tão vendo que tem duas equações praticamente iguais? Isso acontece porque no ponto 3 existem dois tipos de deslocamento, o horizontal e o vertical, sendo assim, vamos ter duas equações distintas onde os δ de uma são diferentes da outra.

Perceba que para o sistema zero não há hiperestático.

Resposta

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 + δ 23 . X 3 = 0

δ 30 + δ 31 . X 1 + δ 32 . X 2 + δ 33 . X 3 = 0   ( x )

δ ' 30 + δ ' 31 . X 1 + δ ' 32 . X 2 + δ ' 33 . X 3 = 0   ( y )

Exercício Resolvido #3

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 1 apoio do primeiro gênero e 1 apoio do terceiro gênero, totalizando 4 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 4 + 0 - 3 = 1  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

Passo 2

Quebrando o vínculo de momento do apoio do terceiro gênero, encontramos a seguinte estrutura:

E veja que já chamei ele de X1

Passo 3

O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar, e sabemos que o número de sistemas é dado pela fórmula

n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

Com isso fica bem simples determinar o nosso numero de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestático.

Com isso teremos:

n º   d e   s i s t e m a s = 1 + 1 = 2

Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento.

E temos o segundo sistema, que é onde vai estar o nosso hiperestático, ou seja, o nosso X1, que podemos definir da seguinte maneira:

Logo em resumo temos isso aqui

Passo 4

Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre no sistema 1, e no sistema 0 irão se anular, ou seja, podemos escrever que a deformação no ponto 1 e que ocorre no sistema 0 é dada pelo termo

δ 10

E que a deformação que é dada no mesmo ponto 1 mas agora no sistema 1 pode ser escrito como:

δ 1 1

E como não temos um ponto 2 com hiperestático, não precisamos nos preocupar com mais nenhum termo, esse do nosso problema já está resolvido.

Ou seja, agora precisamos apenas tomar cuidado em relacionar esses caras.

Passo 5

E agora entra nosso pulo do gato, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar o meu hiperestático X1 como sendo de valor unitário agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real, que é basicamente fazer isso aqui.

δ 11 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

E como eu abri o sistema hiperestático para um movimento que não existia, e quero que todos os sistemas funcionem iguais, eu tenho eu garantir que o conjunto seja igual a zero, ou seja:

δ 1 0 + δ 11   .   X 1 = 0

E podemos escrever o nosso sistema como:

X 1 = - δ 10 δ 11

E assim temos o nosso sistema a ser resolvido.

Resposta

X 1 = - δ 10 δ 11

Ou

δ 10 + δ 11   .   X 1 = 0

Exercício Resolvido #4

Para a viga abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Fala, pessoal!! Vamos resolver um exercício aqui sobre método das forças. Esse problema não pede para acharmos o resultado final (valor das reações nos apoios), pede apenas para encontrarmos as equações que nos levarão a esse resultado, beleza?

Para achar essas equações a gente tem que lembrar de dividir esse problema hiperestático em problemas isostáticos, que são mais simples. Além disso, vamos ter de utilizar aquele conceito das deformações:

Esse conceito é a parte fundamental do nosso problema e saber utilizá-lo corretamente fará toda a diferença!

Então vamos seguir nosso passo a passo para resolver com calma.

Passo 2

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 1 apoio do segundo gênero e 1 apoio de terceiro gênero, totalizando 5 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 5 + 0 - 3 = 2  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, sendo assim, nós precisamos abaixar dois graus da nossa estrutura, transformando-a em uma estrutura em isostática. É exatamente isso que vamos fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar quaisquer dois vínculos da nossa estrutura, desde que ela fique isostática (ou seja, a nossa estrutura deve permanecer em equilíbrio, não pode cair kkkk).

Passo 3

Para obter uma estrutura isostática vamos fazer o seguinte: transformar o engaste num apoio de segundo gênero; e transformar o outro apoio num apoio de primeiro gênero. Sendo assim vamos ter o seguinte:

Onde os hiperestáticos são X 1 e X 2 .

Passo 4

O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar. O número de sistemas é dado pela fórmula

n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

Com isso fica bem simples determinar o nosso número de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestáticos.

Com isso teremos:

n º   d e   s i s t e m a s = 2 + 1 = 3

Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento. Mostrando os sistemas vamos ter:

Passo 5

Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre nos sistemas 0, 1 e 2 irão se anular.

As nossas equações então vão relacionar o ponto com o sistema. Considerando o apoio da esquerda de 1 e da direita de 2 vamos ter

Passo 6

Pessoal, a gente tem que lembrar que o nosso δ é uma deformação unitária, enquanto os nossos hiperestáticos X são as cargas reais. Então a deformação real, que é nula, é dada pela soma de cada parte:

∑ δ . X = 0

Como dividimos o problema a soma de cada parte tem que ser igual ao problema original. Sendo assim vamos ter:

δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

Perceba que para o sistema zero não há hiperestático.

Resposta

δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

Exercício Resolvido #5

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete
  • n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

    • Sabemos que temos 1 apoio do primeiro gênero e 2 apoios do segundo gênero, totalizando 5 incógnitas externas
    • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
    • Temos 3 equações de equilíbrio
    • Não temos rótulas

    n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 5 + 0 - 3 = 2  

    Ou seja, nossa estrutura possui dos graus de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

    Passo 2

    quebrando o vinculo do apoio central, e um dos vínculos do apoio lateral, obtemos o seguinte sistema

    E veja que já chamei ele de X1 e X2

    Passo 3

    O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar, e sabemos que o número de sistemas é dado pela fórmula

    n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

    Com isso fica bem simples determinar o nosso numero de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestático.

    Com isso teremos:

    n º   d e   s i s t e m a s = 2 + 1 = 3

    Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento.

    Temos o segundo sistema, que é onde vai estar o nosso hiperestático, ou seja, o nosso X1, que podemos definir da seguinte maneira:

    E temos o terceiro sistema, que é onde vai estar o nosso segundo hiperestático, ou seja, o nosso X2, que podemos definir da seguinte maneira:

    Logo em resumo temos isso aqui

    Passo 4

    Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

    E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre no sistema 1, e no sistema 0 irão se anular, ou seja, podemos escrever que a deformação no ponto 1 e que ocorre no sistema 0 é dada pelo termo

    δ 10

    Mas que de maneira análoga, também temos os deslocamentos no ponto 2 no sistema zero, além do mais, também liberamos o movimento no ponto 2, ou seja, também temos que garantir que o ponto 2 irá se anular na junção de todos os sistemas, sendo assim temos que:

    δ 2 0

    E que a deformação que é dada no mesmo ponto 1 mas agora no sistema 1 pode ser escrito como:

    δ 1 1

    e que de maneira análoga, no ponto 2, devido o carregamento 2, também teremos deslocamentos, mas nesse caso sabemos que o carregamento dois está no nosso sistema dois, sendo assim temos que:

    δ 22

    E por fim temos o deslocamento causado no ponto 1 devido a carga em dois, e claro, o deslocamento no ponto 2 devido a carga em 1, que também devem ser contabilizados afim de anular o movimento.

    δ 1 2   e   δ 2 1

    Passo 5

    E agora entra nosso pulo do gato, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10   δ 2 0 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar o meu hiperestático X1 e X2 como sendo de valor unitário agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 ,   δ 1 2 , δ 2 1 ,   δ 22   para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real, que é basicamente fazer isso aqui.

    δ 11 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 22 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 1 2 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 21 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    E como eu abri o sistema hiperestático para um movimento que não existia, e quero que todos os sistemas funcionem iguais, eu tenho eu garantir que o conjunto seja igual a zero, ou seja:

  • Tudo referente ao ponto 1
  • δ 1 0 + δ 11   .   X 1 + δ 1 2   .   X 2 = 0

  • Tudo referente ao ponto 2

δ 2 0 + δ 2 1   .   X 1 + δ 2 2   .   X 2 = 0

E podemos escrever o nosso sistema como:

δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 = 0

E assim temos o nosso sistema a ser resolvido.

Resposta

δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 = 0

Exercício Resolvido #6

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete
  • n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

    • Sabemos que temos 2 apoios do terceiro gênero, totalizando 6 incógnitas externas
    • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
    • Temos 3 equações de equilíbrio
    • Não temos rótulas

    n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 6 + 0 - 3 = 3  

    Ou seja, nossa estrutura possui três graus de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

    Passo 2

    Nesse caso devemos quebrar 3 vínculos. Vamos então quebrar os dois vínculos de momento, um em cada apoio, ainda sim precisamos quebrar mais um vínculo. Então iremos quebrar o vínculo horizontal do apoio da direita.

    E veja que já chamei eles de X1, X2 e X3

    Passo 3

    O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar, e sabemos que o número de sistemas é dado pela fórmula

    n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

    Com isso fica bem simples determinar o nosso numero de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestático.

    Com isso teremos:

    n º   d e   s i s t e m a s = 3 + 1 = 4

    Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento.

    Temos o segundo sistema, que é onde vai estar o nosso hiperestático, ou seja, o nosso X1, que podemos definir da seguinte maneira:

    E temos o terceiro sistema, que é onde vai estar o nosso segundo hiperestático, ou seja, o nosso X2, que podemos definir da seguinte maneira:

    E temos o terceiro sistema, que é onde vai estar o nosso terceiro hiperestático, ou seja, o nosso X3, que podemos definir da seguinte maneira:

    Logo em resumo temos isso aqui

    Passo 4

    Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

    E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre no sistema 1, e no sistema 0 irão se anular, ou seja, podemos escrever que a deformação no ponto 1 e que ocorre no sistema 0 é dada pelo termo

    δ 10

    Mas que de maneira análoga, também temos os deslocamentos no ponto 2 e 3 no sistema zero, além do mais, também liberamos o movimento no ponto 2 e 3, ou seja, também temos que garantir que o ponto 2 e 3 irá se anular na junção de todos os sistemas, sendo assim temos que:

    δ 2 0   e   δ 3 0

    E que a deformação que é dada no mesmo ponto 1 mas agora no sistema 1 pode ser escrito como:

    δ 1 1

    e que de maneira análoga, no ponto 2 e 3 , devido o carregamento 2 e 3 , também teremos deslocamentos, mas nesse caso sabemos que o carregamento dois está no nosso sistema dois e o 3 no sistema 3, sendo assim temos que:

    δ 22   e   δ 33

    E por fim temos o deslocamento causado no ponto 1 devido a carga em dois e 3, e claro, o deslocamento no ponto 2 devido a carga em 1 e 3, e por fim, o deslocamento em 3 devido as cargas em 1 e 2 , que também devem ser contabilizados afim de anular o movimento.

    δ 12 ,   δ 21 , δ 13 , δ 31 , δ 23   e   δ 32

    Passo 5

    E agora entra nosso pulo do gato, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10   δ 20 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar o meu hiperestático X1 e X2 como sendo de valor unitário agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 ,   δ 12 , δ 21 ,   δ 22   para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real, que é basicamente fazer isso aqui.

    δ 11 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 12 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 13 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 3 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 22 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 21 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 23 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 3 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 33 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 3 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 31 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 32 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    E como eu abri o sistema hiperestático para um movimento que não existia, e quero que todos os sistemas funcionem iguais, eu tenho eu garantir que o conjunto seja igual a zero, ou seja:

  • Tudo referente ao ponto 1
  • δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 + δ 13   .   X 3 = 0

  • Tudo referente ao ponto 2
  • δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 + δ 23   .   X 3 = 0

  • Tudo referente ao ponto 2

δ 3 0 + δ 3 1   .   X 1 + δ 3 2   .   X 2 + δ 3 3   .   X 3 = 0

E podemos escrever o nosso sistema como:

δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 + δ 13   .   X 3 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 + δ 23   .   X 3 = 0 δ 30 + δ 31   .   X 1 + δ 32   .   X 2 + δ 33   .   X 3 = 0

E assim temos o nosso sistema a ser resolvido.

Resposta

δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 + δ 13   .   X 3 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 + δ 23   .   X 3 = 0 δ 30 + δ 31   .   X 1 + δ 32   .   X 2 + δ 33   .   X 3 = 0

Exercício Resolvido #7

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Fala, pessoal!! Vamos resolver um exercício aqui sobre método das forças. Esse problema não pede para acharmos o resultado final (valor das reações nos apoios), pede apenas para encontrarmos as equações que nos levarão a esse resultado, beleza?

Para achar essas equações a gente tem que lembrar de dividir esse problema hiperestático em problemas isostáticos, que são mais simples. Além disso, vamos ter de utilizar aquele conceito das deformações:

Esse conceito é a parte fundamental do nosso problema e saber utilizá-lo corretamente fará toda a diferença!

Então vamos seguir nosso passo a passo para resolver com calma.

Passo 2

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 1 apoio do segundo gênero e 1 do terceiro gênero, totalizando 5 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 5 + 0 - 3 = 2  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, sendo assim, nós precisamos abaixar dois graus da nossa estrutura, transformando-a em uma estrutura em isostática. É exatamente isso que vamos fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática (ou seja, a nossa estrutura deve permanecer em equilíbrio, não pode cair kkkk).

Passo 3

Para obter uma estrutura isostática vamos fazer o seguinte: retirar o engaste e transformá-lo num apoio de primeiro gênero. Lembre-se que como reduzimos o nosso apoio em dois graus de estabilidade temos de adicionar os respectivos graus como reações. Sendo assim vamos ter o seguinte:

Onde os hiperestáticos são X 1 e X 2 .

Passo 4

O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar. O número de sistemas é dado pela fórmula

n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1