Método de williot para temperatura

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Teoria

Introdução

Aprendemos que o método de williot é um método que nos ensina a determinar os deslocamentos na nossa estrutura, e o nosso objetivo nessa aula é entender exatamente como determinar os deslocamentos a partir de variações de temperatura.

O que é importante deixarmos claro é que a temperatura, assim como o recalque, são carregamentos da estrutura, ou seja, o williot vai nos auxiliar a calcular os valores de β 10 , β 20 , β 30 ... e assim por diante.

Já os valores de β 11 , β 12 , β 32 ... serão determinados usando o nosso conceito de rotação ou deslocamentos impostos, ou seja, essa parte a gente sempre vai fazer igual.

A primeira parte que temos que tomar muito cuidado quando formos fazer, ou usando um carregamento externo, ou o williot de recalque, ou como vamos ver nessa aula o Williot de temperatura.

Determinando as temperaturas.

Uma coisa legal de fazermos é aprendermos a usar a nossa temperatura. Sabemos que temos 3 conceitos importantes de temperatura.

  • Temperatura nas fibras superiores (ou externas) - t e
  • Temperatura no centro de gravidade - t g
  • Temperatura nas fibras inferiores (ou internas) - t i
  1. Exemplo
  2. Imagine que no nosso problema seja dito que a temperatura das fibras superiores (ou externas) seja de +50°C e a temperatura das fibras inferiores (ou internas) seja de +10°C.

    Se desenharmos isso teremos que:

    Porém perceba que parece ser muito complicado trabalhar com a estrutura dessa maneira, por isso, podemos fazer o seguinte.

    Porque fazemos essa distinção? Porque agora ficamos com duas parcelas fáceis de trabalhar, uma sem t g e outra com um t g constante. Como geralmente o t g era nosso problema, com essa divisão conseguimos facilitar a nossa vida, e para cada parcela vamos ter um método de solução.

  3. Caso em que t g = 0
  4. Começamos com esse caos porque é bem simples calcularmos as rigidezes dele. Basta usarmos as seguintes fórmulas:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado
  • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

    Mas ainda tem uma observação muito importante:

    Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

    Mas e se a das externas for maior? Ai é muito simples, vai simbolizar que na verdade os momentos são no outro sentido.

    Ou seja, se temos t g = 0 , basta sabermos se ∆ t > 0 e as fórmulas de acordo com as condições de contorno, e tomando cuidado com os sinais e sentidos dos momentos, determinamos bem tranquilamente as rigidezes ( β 10 , β 20 , β 30 ...) para o caso com t g = 0 .

  • Caso em que t g ≠ 0   e   c o n s t a n t e  
  • Agora que temos que tomar bastante cuidado, porque agora que vamos aprender a usar o nosso williot pata temperatura.

    Vamos primeiro entender como montar o williot e depois podemos ver como aplicar ele, para isso vamos usar como exemplo a estrutura abaixo que já tem as chapas postas nos seus nós.

  • Determinação da origem do Williot
  • A origem do Williot sempre será marcada por um 0 e junto com esse zero ficaram (em letra minúscula) os pontos indeslocáveis da nossa estrutura, que no nosso exemplo são os pontos B e C, sendo assim teremos.

    E a partir dessa origem iremos determinar os nossos pontos, que obviamente tenham algum contato com a nossa origem, porem devemos tomar cuidado com a forma de fazer isso.

  • Determinação do ponto seguinte.
  • Perceba que temos na nossa origem o ponto B e C, ou seja, podemos usar esses dois pontos para determinar o ponto E.

    Para isso a primeira coisa que devemos fazer é determinar o deslocamento tanto da barra que possui B e E (barra 5) quanto a barra que possui C e E (barra 6), e quando temos variação de temperatura, sabemos que a fórmula da dilatação será dada por:

    ∆ L = α t g L

    E agora o primeiro cuidado, marcamos essas deformações no mesmo sentido da barra, e o ponto que vamos determinar chamaremos pelo próprio nome das respectivas barras, e com isso vamos ter que:

    Perceba que no fim de cada deformação colocamos o próprio numero da barra, porque? Já vamos descobrir.

    Agora é só fazermos oque aprendemos no williot de recalque, traçamos uma perpendicular em cada uma das barras e levamos elas até o nosso williot. E onde vamos passar essas retas perpendiculares? Exatamente nos pontos com o número das barras relacionadas, por isso colocamos o numero da barra, pra facilitar exatamente isso, ou seja, teremos que:

    Ou seja, podemos escrever o nosso atual williot como:

    O ponto de encontro entre as retas perpendiculares as barras é exatamente o nosso ponto E, e se prosseguirmos assim, podemos montar o nosso wiliot da seguinte maneira:

  • Tendo C e E podemos determinar F
  • Tendo B e D podemos determinar D
  • Tendo o ponto D determinasse A

  • Williot final com as letras.
  • Se tirarmos todos os números, o nosso williot seria:

    se mantivermos os números temos o nosso williot completo, que geralmente é o williot que o professor quer que você faça, dessa maneira teremos que:

    Mas de maneira geral, sempre mantenha os números, porque mantendo eles, conseguiremos determinar os deslocamentos da nossa barra. Mas isso vai ser assunto para a nossa próxima aula, vamos manter por enquanto nessa aqui apenas a maneira que descobrimos e montamos o nosso williot. Bora fazer exercícios então.

    Determinando as temperaturas.

    Exercícios Resolvidos

    Exercício Resolvido #1

    Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 40 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 40 ° C , determine o diagrama de momentos fletores da mesma.

    α = 1   .   10 - 5

    h = 50   c m

    b = 50   c m

    E = 5   .   10 6   k N / m 2

    E J = 26042   k N m 2

    Passo 1

    Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

    Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

    Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

    Logo as fórmulas que temos que usar são:

    • Caso Bi-engastado
    • M A = - M B = E J α t i - t e h

    • Caso Engastado e apoiado
    • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

      E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

      Mas ainda tem uma observação muito importante:

      Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

      E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

      Passo 2

      Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

    • Sabemos que os pontos A e C são indeslocáveis
    • Sendo assim, o ponto B também será considerado indeslocavel
    • Dessa maneira não temos deslocabilidades externas
    • Mas o ponto B pode rotacionar, e precisamos travar isso com uma chapa.
    • Logo temos 1 deslocabilidade interna

    Sendo assim, desenhando a nossa estrutura, vamos ter que:

    Passo 2

    Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

    Para isso temos que olhar o que acontece com a nossa barra. Sabemos que a barra AB apresenta um engaste em uma ponta e uma chapa na outra, sendo assim, podemos considerar ela bi-engastada, e para a barra bi engastada a equação é:

    M A = - M B = E J α t i - t e h

    Mas a barra está em pé, o que faremos? Basta vira a figura.

    E assim podemos aplicar as nossas fórmulas, que serão:

    Para a barra BC, podemos ver que de um lado temos a chapa e do outro temos um apoio, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

    M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

    E assim na nossa estrutura, os momentos que agem na chapa e que geram a sua rigidez, são dados por:

    E assim teremos que:

    β 10 = 62,50 - 41,67 = 20,83

    Passo 3

    Agora precisamos determinar a parcela referente a rotação que pode ser unitária ou podemos usar o conceito de rigidez relativa:

    • β 11
    • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 1 e 2 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

      E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

      Veja que temos:

      β 11 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2

      Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

      1 E J

      E assim teremos:

      β 11 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2 1 E J

      Substituindo teremos que:

      β 11 = 4 l 1 + 3 l 2 = 4 4 + 3 4 = 1,75

      Passo 3

      Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

      β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

      20,83 + 1,75 ∆ 1 = 0

      Resolvendo esse sistema teremos que:

      ∆ 1 = - 11,90

      Para determinação dos momentos fletores, precisamos do momento fletor de todos os nós em todas as barras em todos os sistemas, dessa forma a primeira coisa que devemos fazer é analisar cada sistema.

    • Sistema 0
    • Sistema 1

    Uma coisa mega importante é lembrar de usar o fator de rigidez relativa EM TODOS OS CASOS que temos para o sistema 1, se não vamos errar, sendo assim teremos que:

    E usando a nossa fórmula para cada nó teremos que:

    M A   ( b a r r a 1 ) = M 0 A ( b a r r a   1 ) + M 1 A ( b a r r a   1 ) ∆ 1

    M A   ( b a r r a 1 ) = 41,67 + 0,5   .     - 11,90 = 35,72   k N m

    M B   ( b a r r a 1 ) = M 0 B ( b a r r a   1 ) + M 1 B ( b a r r a   1 ) ∆ 1

    M B   ( b a r r a 1 ) = - 41,67 + 1,0   .     - 11,90 = - 53,57

    M B   ( b a r r a 2 ) = M 0 B ( b a r r a   2 ) + M 1 B ( b a r r a   2 ) ∆ 1

    M B   ( b a r r a 2 ) = 62,50 + 0,75   .     - 11,90 = 53,57

    Perceba que já temos os momentos de cada nó da nossa estrutura, e para cada barra, sendo assim se desenharmos isso na nossa estrutura teremos que:

    Resposta

    Exercício Resolvido #2

    Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 100 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 100 ° C , determine o diagrama de momentos fletores da mesma.

    α = 1   .   10 - 5

    h = 60   c m

    b = 6 0   c m

    E = 5   .   10 6   k N / m 2

    E J = 54000   k N m 2

    Passo 1

    Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

    Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

    Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

    Logo as fórmulas que temos que usar são:

    • Caso Bi-engastado
    • M A = - M B = E J α t i - t e h

    • Caso Engastado e apoiado
    • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

      E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

      Mas ainda tem uma observação muito importante:

      Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

      E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

      Passo 2

      Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

    • Sabemos que os pontos A e C são indeslocáveis
    • Sendo assim, o ponto B também será considerado indeslocavel
    • Dessa maneira não temos deslocabilidades externas
    • Mas o ponto B pode rotacionar, e precisamos travar isso com uma chapa.
    • Logo temos 1 deslocabilidade interna

    Sendo assim, desenhando a nossa estrutura, vamos ter que:

    Passo 2

    Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

    Tanto para a barra AB quanto para a barra BC, podemos ver que de um lado temos a chapa e do outro temos um apoio, ou seja, podemos considerar essas barras do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

    M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

    Assim teremos que a rigidez total em B será dado por:

    β 10 = 270 - 270 = 0

    Passo 3

    Agora precisamos determinar a parcela referente a rotação que pode ser unitária ou podemos usar o conceito de rigidez relativa:

    • β 11
    • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 1 e 2 respeitando o caso engastado e apoiado:

      E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

      Veja que temos:

      β 11 = 3 E J l 1 + 3 E J l 2

      Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

      1 E J

      E assim teremos:

      β 11 = 3 E J l 1 + 3 E J l 2 1 E J

      Substituindo teremos que:

      β 11 = 3 l 1 + 3 l 2 = 3 2 + 3 3 = 2,5

      Passo 5

      Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

      β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

      0 + 2,5 ∆ 1 = 0

      Resolvendo esse sistema teremos que:

      ∆ 1 = 0

      Para determinação dos momentos fletores, precisamos do momento fletor de todos os nós em todas as barras em todos os sistemas, dessa forma a primeira coisa que devemos fazer é analisar cada sistema.

    • Sistema 0
    • Sistema 1

    Uma coisa mega importante é lembrar de usar o fator de rigidez relativa EM TODOS OS CASOS que temos para o sistema 1, se não vamos errar, sendo assim teremos que:

    E usando a nossa fórmula para cada nó teremos que:

    M A   ( b a r r a 1 ) = M 0 A ( b a r r a   1 ) + M 1 A ( b a r r a   1 ) ∆ 1

    M A   ( b a r r a 1 ) = 0 + 0   .     0 = 0   k N m

    M B   ( b a r r a 1 ) = M 0 B ( b a r r a   1 ) + M 1 B ( b a r r a   1 ) ∆ 1

    M B   ( b a r r a 1 ) = - 270 + 1,5   .     0 = - 270   k N m

    M B   ( b a r r a 2 ) = M 0 B ( b a r r a   2 ) + M 1 B ( b a r r a   2 ) ∆ 1

    M B   ( b a r r a 2 ) = 270 + 1,0   .     0 = 270   k N m

    M C   ( b a r r a 2 ) = M 0 C ( b a r r a   2 ) + M 1 C ( b a r r a   2 ) ∆ 1

    M C   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0   k N m

    Perceba que já temos os momentos de cada nó da nossa estrutura, e para cada barra, sendo assim se desenharmos isso na nossa estrutura teremos que:

    Resposta

    Exercício Resolvido #3

    Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 5 0 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 5 0 ° C , determine o diagrama de momentos fletores da mesma.

    α = 1   .   10 - 5

    h = 60   c m

    b = 6 0   c m

    E = 5   .   10 6   k N / m 2

    E J = 54000   k N m 2

    Passo 1

    Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

    Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

    Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

    Logo as fórmulas que temos que usar são:

    • Caso Bi-engastado
    • M A = - M B = E J α t i - t e h

    • Caso Engastado e apoiado
    • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

      E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

      Mas ainda tem uma observação muito importante:

      Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

      E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

      Passo 2

      Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

    • Sabemos que os pontos A, B e C são indeslocáveis
    • Sendo assim, o ponto D também será considerado indeslocavel
    • Dessa maneira não temos deslocabilidades externas
    • Mas o ponto D pode rotacionar, e precisamos travar isso com uma chapa.
    • Logo temos 1 deslocabilidade interna

    Sendo assim, desenhando a nossa estrutura, vamos ter que:

    Passo 2

    Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

    Sabemos que tanto a barra AD quanto a barra DC apresentam um engaste em uma ponta e uma chapa na outra, sendo assim, podemos considerar elas bi-engastadas, e para a barra bi engastada a equação é:

    M A = - M B = E J α t i - t e h

    Mas a barra está em pé, o que faremos? Basta vira a figura.

    E assim podemos aplicar as nossas fórmulas, que serão:

    Para a barra DC, podemos ver que de um lado temos a chapa e do outro temos um apoio, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

    M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

    Olhando a estrutura com todos os momentos teremos que:

    Assim teremos que a rigidez total em D será dado por:

    β 10 = 90 - 90 + 135 = 135

    Passo 3

    Agora precisamos determinar a parcela referente a rotação que pode ser unitária ou podemos usar o conceito de rigidez relativa:

    • β 11
    • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 1, 2 e 3 respeitando o caso engastado e apoiado e o caso Bi-engastado:

      E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

      Veja que temos:

      β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2 + 3 E J l 3

      Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

      1 E J

      E assim teremos:

      β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2 + 3 E J l 3 1 E J

      Substituindo teremos que:

      β 11 = 4 l 1 + 4 l 2 + 3 l 3 = 4 4 + 4 4 + 3 5 = 2,6

      Passo 3

      Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

      β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

      135 + 2,6 ∆ 1 = 0

      Resolvendo esse sistema teremos que:

      ∆ 1 = - 51,92

      Para determinação dos momentos fletores, precisamos do momento fletor de todos os nós em todas as barras em todos os sistemas, dessa forma a primeira coisa que devemos fazer é analisar cada sistema.

    • Sistema 0
    • Sistema 1

    Uma coisa mega importante é lembrar de usar o fator de rigidez relativa EM TODOS OS CASOS que temos para o sistema 1, se não vamos errar, sendo assim teremos que:

    E usando a nossa fórmula para cada nó teremos que:

    M A   ( b a r r a 1 ) = M 0 A ( b a r r a   1 ) + M 1 A ( b a r r a   1 ) ∆ 1

    M A   ( b a r r a 1 ) = - 9 0 + 0,5   .     - 51,92 = - 115,96   k N m

    M D   ( b a r r a 1 ) = M 0 D ( b a r r a   1 ) + M 1 D ( b a r r a   1 ) ∆ 1

    M D   ( b a r r a 1 ) = 90 + 1,0   .     - 51,92 = 38,08   k N m

    M C   ( b a r r a 2 ) = M 0 C ( b a r r a   2 ) + M 1 C ( b a r r a   2 ) ∆ 1

    M C   ( b a r r a 2 ) = 90 + 0,5   .     - 51,92 = 64,04   k N m

    M D   ( b a r r a 2 ) = M 0 D ( b a r r a   2 ) + M 1 D ( b a r r a   2 ) ∆ 1

    M D   ( b a r r a 2 ) = - 9 0 + 1,0   .     - 51,92 = - 141,92   k N m

    M D   ( b a r r a 3 ) = M 0 D ( b a r r a   3 ) + M 1 D ( b a r r a   3 ) ∆ 1

    M D   ( b a r r a 3 ) = 135 + 0,6   .     - 51,92 = 103,85   k N m

    M B   ( b a r r a 3 ) = M 0 B ( b a r r a   3 ) + M 1 B ( b a r r a   3 ) ∆ 1

    M B   ( b a r r a 3 ) = 0 + 0   .     - 51,92 = 0   k N m

    Perceba que já temos os momentos de cada nó da nossa estrutura, e para cada barra, sendo assim se desenharmos isso na nossa estrutura teremos que:

    Resposta

    Exercício Resolvido #4

    Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 5 0 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 5 0 ° C , determine a rotação dos pontos B e C.

    α = 1   .   10 - 5

    E = 2250000   k N / m 2

    E J = 54000   k N m 2

    10 3 J = 24

    J = 0,024

    Passo 1

    Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

    Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

    Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

    Logo as fórmulas que temos que usar são:

    • Caso Bi-engastado
    • M A = - M B = E J α t i - t e h

    • Caso Engastado e apoiado
    • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

      E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

      Mas ainda tem uma observação muito importante:

      Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

      E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

      Passo 2

      Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

    • Sabemos que os pontos A, E e D são indeslocáveis
    • Sendo assim, os pontos B e C também serão considerados indeslocaveis.
    • Dessa maneira não temos deslocabilidades externas
    • Mas os pontos B e C podem rotacionar, e precisamos travar isso com uma chapa.
    • Logo temos 2 deslocabilidades internas

    Sendo assim, desenhando a nossa estrutura, vamos ter que:

    Passo 2

    Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

    Sabemos que tanto a barra AD quanto a barra DC apresentam um engaste em uma ponta e uma chapa na outra, sendo assim, podemos considerar elas bi-engastadas, e para a barra bi engastada a equação é:

    M A = - M B = E J α t i - t e h

    Mas a barra está em pé, o que faremos? Basta vira a figura.

    Assim podemos aplicar essa fórmula nas seguintes barras:

    • AB
    • BC
    • CE

    Fazendo isso teremos que:

    Como essa fórmula independe do comprimento, podemos calcular uma das equações e depois substituir na estrutura respeitando o sinal.

    M = E J α t i - t e h = 54000   .     1   .     10 - 5 50 - ( - 50 ) 0,60 = 90

    Substituindo na estrutura teremos que:

    Para a barra CD, podemos ver que de um lado temos a chapa e do outro temos um apoio, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

    M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

    Perceba que para respeitar a regrinha de o momento sempre sair das fibras inferiores e ir pra superiores, nós invertemos o sentido do momento para ficar tudo certinho.

    Substituindo na fórmula teremos que

    M = 3 E J α t i - t e 2 h = 3   .     54000   . 1.10 - 5 50 - ( - 50 ) 2   .     0,60 = 135

    Olhando a estrutura com todos os momentos teremos que:

    Assim teremos que a rigidez total em D será dado por:

    β 10 = 90 - 90 = 0

    β 20 = - 90 - 90 + 135 = - 45

    Passo 3

    Agora precisamos determinar a parcela referente a rotação que pode ser unitária ou podemos usar o conceito de rigidez relativa:

    • β 11 e β 21
    • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 2 e 3 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

      E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

      Veja que temos:

      β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2

      Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

      10 3 4 E

      E assim teremos:

      β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2 10 3 4 E

      Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

      β 11 = 24 l 1 + 24 l 2 = 24 6 + 24 8 = 4 + 3 = 7

      Veja também que:

      β 21 = 2 E J l 2

      Como já usamos o fator de rigidez relativa, devemos continuar usando ele, e perceba que não podemos mudar mais, se usamos em um, temos que usar o mesmo em todos, sendo assim teremos que:

      10 3 4 E

      E assim teremos:

      β 21 = 2 E J l 2 10 3 4 E = J 2 l 2

      Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

      β 21 = 24 2 l 2 = 24 2   .     8 = 1,5

      Passo 5

      Determinando o resto do sistema teremos que:

    • β 12 e β 22

    Sabemos aqui que temos que rotacionar agora a chapa 2, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 2 e 3 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

    E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

    Veja que temos:

    β 12 = 2 E J l 2

    Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

    10 3 4 E

    E assim teremos:

    β 12 = 2 E J l 2 10 3 4 E = J 2 l 2

    Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

    β 12 = 24 2 l 2 = 24 2   .     8 = 1,5

    Veja também que:

    β 22 = 4 E J l 2 + 3 E J l 3 + 4 E J l 4