Passo a Passo método dos deslocamentos

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Teoria

Introdução

Até aqui aprendemos a solucionar problemas usando o método das forças, mas agora iremos aprender a solucionar os nossos problemas hiperestáticos através do método dos deslocamentos, e vamos ver que a ideia continua a mesma, mas alguns princípios mudam. Vamos entender isso por partes:

O método das forças

No método das forças aprendemos a soltar vínculos, e com esses vínculos soltos definíamos deformações que definíamos por exemplo como:

δ 12

Em que sabíamos que significava que era um deslocamento no ponto 1 (primeiro índice 1) e que ocorria nos sistema 2 (segundo índice 2) ou seja, os índices marcavam primeiro o ponto em que ocorria, e depois o local em que ocorria, certo?

Mas como definíamos o ponto que seria chamado de 1? Era exatamente o ponto em que estava o nosso hiperestático, ou seja, quando olhávamos a deformação: δ 12

Sabíamos que ela significava: olha temos uma deformação no ponto 1 devido a um hiperestático no ponto 2. Certo? E o que a gente fazia depois? Somávamos todas as deformações que ocorriam naquele ponto e igualávamos a zero porque sabíamos que o hiperestático liberava um movimento que não deveria existir, logo a soma de todos os casos deveria dar zero, e com isso surgia o nosso sisteminha:

δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0

E fazíamos a mesma coisa para o ponto 2 em que resolvíamos um sistema de equações para achar as forças X 1 e X 2 que faziam o nosso sistema zerar os deslocamentos liberados, certo?

Isso é um resumão bem rápido pra gente entender como vai funcionar no método dos deslocamentos.

O método dos deslocamentos

De maneira análoga vamos seguir o mesmo padrão, imagine o seguinte pórtico aqui em baixo:

No método das forças nos contávamos o número de incógnitas e de equações, e assim descobríamos o número de hiperestáticos, certo? Aqui iremos fazer algo diferente. Lembra que aprendemos a contar deslocabilidades externas e internas? Então vamos fazer isso aqui, e esse vai ser o nosso primeiro passo:

Passo 1: determinação das deslocabilidades externas e internas

Sabemos que para determinar o número de deslocabilidades internas, precisamos contar os nós que seguem a seguinte regra:

  • Não são nós de apoio
  • Não são nós rotulados

Sendo assim as nossas deslocabilidades internas serão

Então já sabemos que temos duas deslocabilidades internas.

As externas a gente nomeia os nós:

E após nomear vemos as possíveis deslocabilidades:

  • Os nós A, C e E são indeslocaveis, logo, não terão deslocabilidades externas
  • O nó D está ligado aos nós C e E que também são indeslocaveis, logo o nó D também será
  • O nó B está ligado aos nós A e D que são indeslocaveis, logo o nó B também é, e com isso descobrimos que não temos deslocabilidades externas.
  1. Passo 2: travamos essas deslocabilidades e numeramos elas
  2. Agora que a magica acontece, lembra que no método das forças a gente soltava os nós e substituíamos por hiperestáticos? E assim tínhamos uma estrutura isostática para resolver? Aqui iremos pelo caminho contrário, iremos travar os nós, e nesse caso como eles só podem rodar (pois só temos deslocabilidades internas) iremos pôr uma chapa para representar o travamento a rotação.

    Mas e se tivesse deslocabilidades externas? Ai colocaríamos o nosso amigo apoio do primeiro gênero para travar o movimento, mas no nosso exemplo não temos esse nosso amigo. Então botando a chapa e numerando ela, teremos que:

    E olha só, essas nossas chapinhas estão travando a rotação certo? Ou seja, a minha estrutura deveria rotacionar, mas eu impedi isso, então não irão aparecer deformações que deveriam acontecer, então eu vou ter que forçar essas deformações a aparecerem, essas deformações eu vou chamar de ∆ 1 e ∆ 2 que são análogos aos meus X 1 e X 2 do método das forças, além do mais, se você lembrar bem, assim como eu forço a aparição de ∆ 1 e ∆ 2 por colocar as chapas , eu também forçava a aparição de X 1 e X 2 por quebrar os vínculos, ou seja, os nosso métodos estão se comportando de maneira análoga.

  3. Passo 3: o que eu faço com ∆ 1 e ∆ 2
  4. Quando eu não sabia o valor de X 1 e X 2 o que eu fazia? Supunha um sistema em que X 1 e X 2 fossem unitários, e um sistema 0 com a carga externa , calculava as deformações δ 11 ,   δ 12 , δ 21 e δ 22 e a deformação devido a carga externa ( δ 10   e   δ 20 )   e ia para o meu sistema certo?

    Aqui o princípio é o mesmo, só que ao invés de serem forças unitárias, serão rotações unitárias. Mas como vamos fazer isso?

    A primeira coisa que devemos saber é que iremos usar o nosso conceito de momentos fletores devido a rotação unitária, ou seja, iremos usar a rigidez de cada nó separadamente, para isso temos que entender que essa rigidez aqui vai ser chamada da seguinte maneira:

    Ou seja, se tivermos a seguinte rigidez:

    β 12

    Significará, a rigidez no ponto 1 (ou no nosso exemplo, na chapa 1) quando rotacionamos a chapa 2 (que rotacionamos a chapa 2 no sistema 2).

    Então agora só precisamos determinar os nossos sistemas e entender como determinar a rigidez:

  5. Passo 4: determinação do sistema 0
  • Primeiro determinamos os sistemas
    • Sistema 0
    • É o sistema em que a carga externa vai agir, e no sistema zero iremos determinar β 10 e β 20 usando o conceito de momentos de engastamento perfeito, que nada mais é que usar a tabela abaixo para detemirnar os momentos que agem em cada uma das chapas.

      Perceba que as nossas chapas impedem o único movimento que o nó poderia fazer, ou seja, é como se o nosso pórtico tivesse nós que são engastados, dessa maneira, se separássemos o nosso pórtico, teríamos os seguintes trechos de vigas:

      Perceba que o nó 1 poderia receber contribuições tanto da barra 1 quanto da barra 2. Mas nesse caso como só tem carga na barra 2, só essa vai contribuir com ele. Já o nó 2 vai receber contribuição tanto da barra 2 quanto da barra 3, sendo assim, se usarmos a nossa tabela de engastamentos perfeitos teremos que:

      Agora pensa comigo, qual o momento que age na chapa 1? Esse vai ser o nosso β 10 , que vamos escrever como:

      β 10 = q l 2 12

      E o que age na chapa 2? Veja que temos duas contribuições, ambas devem ser contabilizadas, lembrando que sentido horário é negativo, sendo assim teremos que:

      β 20 = - q l 2 12 + P l 8

      E assim determinamos as rigidezes referentes ao sistema zero.

    • Passo 5: determinação do sistema 1
    • Sistema 1
    • O sistema 1 nada mais é que analisarmos o que acontece com as chapas do pórtico se rotacionarmos apenas a chapa 1. No sistema 1 determinamos todas as rigidezes que o segundo índice é 1, ou seja, β 11   ,   β 21 ,   β 31 ..... e assim por diante. Lembre-se que não conhecemos ∆ 1 , por isso iremos supor ele unitário, e sempre que temos uma rotação unitária, que tabela devemos usar? Essa aqui de baixo:

      Como no exemplo anterior já mostramos o pórtico separado, agora já podemos ir direto pois fica mais fácil de visualizar o conceito, então imagine a nossa chapa rotacionada de 1°, teríamos isso aqui:

      Um macete legal de se perceber é que eu sempre giro a chapa no sentido anti-horário, porque assim eu sei que os momentos que irão aparecer serão positivos, pois sempre se lembre que o sentido anti-horário é o nosso positivo.

      Perceba que como a chapa 1 representa um engaste, usaremos da nossa tabela o seguinte conceito:

      Sendo assim teremos que os momentos que aparecem são:

      Agora só lembrar o momento que aparece no ponto 1 devido a rotação da chapa 1 no sistema 1 será:

      β 11 = 4 E J l + 4 E J l

      Como são os dois no sentido anti-horário, ambos são positivo.

      Lembra que no sistema 1 sempre determinamos as rigidezes que terminam em 1, ou eu posso pensar pela regrinha.

      Qual o momento que age no ponto 2 devido a uma rotação da chapa 1 no sistema 1:

      Como o primeiro índice sempre é o ponto em que ocorre, teremos que:

      β 21 = + 2 E J l

    • Passo 6: determinação do sistema 2
    • Sistema 2

O sistema 2 nada mais é que analisarmos o que acontece com as chapas do pórtico se rotacionarmos apenas a chapa 2. No sistema 2 determinamos todas as rigidezes que o segundo índice é 2, ou seja, β 12   ,   β 22 ,   β 32 ..... e assim por diante. Lembre-se que não conhecemos ∆ 2 , por isso iremos supor ele unitário, e sempre que temos uma rotação unitária, que tabela devemos usar? Essa aqui de baixo:

Como no exemplo anterior já mostramos o pórtico separado, agora já podemos ir direto pois fica mais fácil de visualizar o conceito, então imagine a nossa chapa rotacionada de 1°, teríamos isso aqui:

Perceba que novamente girei a chapa no sentido anti-horário, porque assim eu sei que os momentos que irão aparecer serão positivos, pois sempre se lembre que o sentido anti-horário é o nosso positivo.

Perceba que a chapa 2 irá representar um Bi-engastamento para as barras 2 e 3, e assim usaremos a seguinte parte da tabela:

mas para barra 4 ela irá representar um engaste e um apoio, sendo assim usaremos esse trecho da tabela aqui:

Sendo assim teremos que os momentos que aparecem são:

Agora só lembrar o momento que aparece no ponto 2 devido a rotação da chapa 2 no sistema 2 será:

β 22 = 4 E J l + 4 E J l + 3 E J l

Como são os três no sentido anti-horário, todos são positivos.

Lembra que no sistema 2 sempre determinamos as rigidezes que terminam em 2, ou eu posso pensar pela regrinha.

Qual o momento que age no ponto 1 devido a uma rotação da chapa 2 no sistema 2:

Como o primeiro índice sempre é o ponto em que ocorre, teremos que:

β 12 = + 2 E J l

  • Passo 7: determinação do sistema de equações
  • Agora basta lembrar do que fazíamos no método das forças, tudo referente ao ponto 1 somado tem que zerar, porém lembre-se que os β ’s definidos nos sistemas 1 e 2 eram unitários, e nosso objetivo é determinar os verdadeiros, ou seja, basta multiplicar, sendo assim teremos que o nosso sistema para o ponto 1 será:

    β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

    E para o ponto 2 será:

    β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

    E o nosso sistema de equações a ser resolvido será:

    β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

    β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

    Se substituirmos tudo que encontramos ao longo do nosso problema teremos que:

    q l 2 12 + 4 E J l + 4 E J l ∆ 1 + 2 E J l ∆ 2 = 0

    - q l 2 12 + P l 8 + 2 E J l ∆ 1 + 4 E J l + 4 E J l + 3 E J l ∆ 2 = 0

    Perceba que se multiplicarmos ambos os sistemas por l E J , e isolarmos os termos sem ∆ 1 e ∆ 2 , teremos que:

    8 ∆ 1 + 2 ∆ 2 = - q l 3 12 E J

    2 ∆ 1 + 11 ∆ 2 = + q l 3 12 E J - P l 2 8 E J

    Ou seja, a solução do sistema fica mais simples, e essa é uma estratégia que eu costumo usar para resolver esse tipo de problema, eu sempre monto o sistema inteiro e no final multiplico tudo por l E J (lembrando que usamos isso apenas se todos os comprimentos das barras forem iguais, se não forem, basta trocar o termo l pelo termo 1 e usar a seguinte simplificação 1 E J ) , para poder simplificar. Mas perceba que você pode usar qualquer multiplicação que simplifique, a ideia é conseguir tirar tanto de ∆ 1 quanto de ∆ 2 o termo EJ, se conseguirmos tirar desses caras os termos EJ, o sistema fica mais simples. Isso é o que chamamos de rigidez relativa e podemos usar sempre qualquer valor, mas a ideia é facilitar a nossa vida. Vale lembrar que não somos obrigados a rotacionar as nossas chapas de um valor unitário, eu só fiz isso pra facilitar a nossa vida, mas por exemplo, se rotacionarmos a chapa de 10 - 3   r a d , basta pegarmos as nossas rigidezes e multiplicarmos pelo valor de 10 - 3 se isso for facilitar a nossa vida, mas se lembre que se rotacionamos de 1 unidade, sempre vamos ter o valor da nossa rigidez verdadeira, então sempre vai depender do que estamos querendo facilitar.

    E perceba que, enquanto o método das forças nós dava como respostas forças, o método dos deslocamentos nós dá como respostas deslocamentos, mas e se eu quiser os diagramas? Ai basta olhar aqui embaixo:

  • Passo 8: determinação dos diagramas
  • Para isso basta nomearmos os nós do nosso pórtico como vemos aqui em baixo:

    E para determinação dos esforços basta fazermos:

    E i = E 0 i + E 1 i ∆ 1 + E 2 i ∆ 2

    Em que i é o ponto em que queremos saber o esforço.

    E 0 i = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   0   e   n o   p o n t o   i

    E 1 i = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   1   e   n o   p o n t o   i

    E 2 i = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   2   e   n o   p o n t o   i

    Ou seja, se quisermos saber, por exemplo, o momento no ponto A deveremos fazer:

    M A = M 0 A + M 1 A ∆ 1 + M 2 A ∆ 2

    O cortante? Usamos a mesma fórmula:

    V A = V 0 A + V 1 A ∆ 1 + V 2 A ∆ 2

    Para as reações de apoio, como temos os momentos de todos os nós, basta fazermos um equilíbrio de forças e momentos para cada umas das barras do pórtico para podermos determinar as reações de apoio pela equação acima, e ai faríamos:

    R A = R 0 A + R 1 A ∆ 1 + R 2 A ∆ 2

    Obs: perceba que por exemplo, o ponto D possui 3 barras chegando nele, então como determinamos o momento nele? É so fazer o momento atuando no ponto D para cada uma das barras, ou seja, se colocarmos no nosso índice um numero que represente a barra, podemos esquecer:

    O método dos deslocamentos

    Passo 1: determinação das deslocabilidades externas e internas

    Exercícios Resolvidos

    Exercício Resolvido #1

    Determine o valor de β 32 no pórtico dado abaixo:

    Passo 1

    Perceba que temos que determinar o valor de β 32 , certo? Para isso temos que entender o que isso significa, para isso precisamos entender o que cada termo da nossa deformação significa.

    Ou seja, podemos dizer que queremos saber qual a rigidez no ponto 3 quando deformamos a chapa 2, ou seja, o primeiro termo diz o local que queremos saber (3) e o segundo termo diz o nó que temos que deformar (2).

    Sendo assim teremos que:

    Perceba que temos a chapa em 2 e em 3, ou seja, uma viga Bi-engastada. Ou seja, a fórmula que temos que usar é:

    Sendo assim teremos que:

    Ou seja, a rigidez que acontece no ponto 3 devido a rotação em 2 é dado por:

    β 32 = 2 E J l

    β 32 = 2   .     1500 1 = 3000   k N m

    Resposta

    β 32 = 3000   k N m

    Exercício Resolvido #2

    Determine o valor de β 62 no pórtico dado abaixo:

    Passo 1

    Perceba que temos que determinar o valor de β 62 , certo? Para isso temos que entender o que isso significa, para isso precisamos entender o que cada termo da nossa deformação significa.

    Ou seja, podemos dizer que queremos saber qual a rigidez no ponto 6 quando deformamos a chapa 2, ou seja, o primeiro termo diz o local que queremos saber (6) e o segundo termo diz o nó que temos que deformar (2).

    Sendo assim teremos que:

    Perceba que temos a chapa em 2 e em 6, ou seja, uma viga Bi-engastada. Ou seja, a fórmula que temos que usar é:

    Sendo assim teremos que:

    Ou seja, a rigidez que acontece no ponto 6 devido a rotação em 2 é dado por:

    β 62 = 2 E J l

    Porém perceba que não temos o comprimento da barra, para isso só precisamos fazer Pitágoras, sendo assim teremos que:

    l = 2 + 2 2 + 3 2 = 25 = 5

    Substituindo teremos que:

    β 62 = 2   .     2000 5 = 800 k N m

    Resposta

    β 62 = 800 k N m

    Exercício Resolvido #3

    Determine e resolva equação da estrutura dada abaixo. Dado: E J = 1500   k N m 2

    Utilize as seguintes tabelas:

    Passo 1

    Fala, pessoal!!! A questão pede para determinarmos as equações que regem esse problema e para isso a primeira coisa que devemos fazer é saber trocar corretamente os apoios. Neste caso só vamos precisar impedir a rotação em B obtendo:

    Agora sabemos que temos 1 chapas na nossa estrutura, como podemos ver ali em cima. Como temos apenas uma chapa vamos ter uma equação da forma:

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    Mas a questão não para aí né, a gente tem que achar os valores de β 10 e β 11 também! Vamos ver isso com mais detalhes nos próximos passos!

    Passo 2

    Para determinar os valores desses coeficientes nós precisamos combinar o carregamento com a condição dos apoios através da tabelinha:

    Vamos descobrir primeiro o valor de β 10 então!

    Olhando a conta para cara barra teremos que:

    Substituindo os valores vamos ter:

    Ou seja, o valor de β 10 é:

    β 10 = - 40 6 8 + 60 2 3 2 5 2 5 + 3

    β 10 = - 30 + 57,6 = 27,6

    Passo 3

    Agora vamos calcular β 11 . Para isso vamos precisar da outra tabelinha:

    Vamos rotacionar a chapa B e obtemos:

    Dessa forma vamos ter:

    β 11 = 4 E J L 1 + 3 E J L 2 = 4   . 1500 6 + 3   . 1500 5 = 190 0

    Passo 4

    Organizando o sistema temos que:

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    Substituindo:

    27,6 + 1900 . Δ 1 = 0

    E podemos calcular a deformação:

    Δ 1 = - 27,6 1900 = - 1,14 . 10 - 3   r a d

    Resposta

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    27,6 + 1900 . Δ 1 = 0

    Δ 1 = - 1,14.10 - 3   r a d

    Exercício Resolvido #4

    Determine e resolva equação da estrutura dada abaixo. Dado: E J = 1500   k N m 2

    Utilize as seguintes tabelas:

    Passo 1

    Fala, pessoal!!! A questão pede para determinarmos as equações que regem esse problema e para isso a primeira coisa que devemos fazer é saber trocar corretamente os apoios. Neste caso só vamos precisar impedir a rotação em B obtendo:

    Agora sabemos que temos 1 chapas na nossa estrutura, como podemos ver ali em cima. Como temos apenas uma chapa vamos ter uma equação da forma:

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    Mas a questão não para aí né, a gente tem que achar os valores de β 10 e β 11 também! Vamos ver isso com mais detalhes nos próximos passos!

    Passo 2

    Para determinar os valores desses coeficientes nós precisamos combinar o carregamento com a condição dos apoios através da tabelinha:

    Vamos descobrir primeiro o valor de β 10 então!

    Olhando a conta para cara barra teremos que:

    Substituindo os valores vamos ter:

    Ou seja, o valor de β 10 é:

    β 10 = - 50 5 2 12 + 40 6 8 = - 74,17

    Passo 3

    Agora vamos calcular β 11 . Para isso vamos precisar da outra tabelinha:

    Vamos rotacionar a chapa B e obtemos:

    Dessa forma vamos ter:

    β 11 = 4 E J L 1 + 4 E J L 2 = 4   . 1500 5 + 4   . 1500 6 = 2200

    Passo 4

    Organizando o sistema temos que:

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    Substituindo:

    - 74,17 + 2200 . Δ 1 = 0

    E podemos calcular a deformação:

    Δ 1 = 74,17 2200 = 0,0337   r a d

    Resposta

    - 74,17 + 2200 . Δ 1 = 0

    Δ 1 = 0,0337   r a d

    Exercício Resolvido #5

    Determine o valor de β 21 no pórtico dado abaixo:

    Passo 1

    Perceba que temos que determinar o valor de β 21 , certo? Para isso temos que entender o que isso significa, para isso precisamos entender o que cada termo da nossa deformação significa.

    Ou seja, podemos dizer que queremos saber qual a rigidez no ponto 2 quando deformamos a chapa 1, ou seja, o primeiro termo diz o local que queremos saber (2) e o segundo termo diz o nó que temos que deformar (1).

    Sendo assim teremos que:

    Perceba que na barra 1 temos um engaste e uma chapa, que representam um estrutura Bi-engastada. Já na barra 2 temos uma chapa de um lado e um rotula do outro, que representa um apoio, logo, uma estrutura engastada e apoiada, sendo assim as fórmulas a serem usadas são:

    Sendo assim teremos que:

    Como desejamos saber o que acontece no ponto 2 (que é um apoio) devido a rotação da chapa 1, precisamos definir o valor das rigidezes, e determinar a reação no apoio 2, e assim determinaremos exatamente o nosso valor de β 21 , sendo assim teremos que:

    O único que produz reação horizontal é a barra 1, sendo assim teremos que:

    - 4 V 2 + 2000 + 1000 = 0

    V 2 = 750

    Como mantemos a direção e sinal calculados para V1, e V2 tem o mesmo valor e o sentido, temos que a reação de apoio, e consequentemente o valor de β 21 , será:

    β 21 = 750

    Resposta

    β 21 = 750

    Exercício Resolvido #6

    Determine o sistema de equações da estrutura dada abaixo:

    Passo 1

    Sabemos que temos 3 chapas na nossa estrutura, como podemos ver ali em cima. Uma parada legal a ser feita é contabilizar tudo que devemos determinar em cada chapa, se fizermos isso obtemos o seguinte:

    Sabendo já o que tem que determinar, vamos fazer um de cada vez.

    Passo 2

    Vamos determinar primeiro os valores de β 10 , β 20 e β 30 . Para determinar isso precisamos da seguinte tabela:

    Olhando a conta para cara barra teremos que:

    Trocando os valores teremos que:

    Assim teremos que:

    β 10 = - 12,5 + 5 = - 7,5

    β 20 = - 5,0

    β 30 = + 5,0

    Passo 3

    Agora vamos rotacionar a chapa 1, para podermos determinar os valores de β 11 , β 21 e β 31 .

    Perceba que as duas barras que chegam na chapa 1 são Bi-engastadas, logo a fórmula a ser usada é:

    Substituindo certinho temos que:

    Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

    β 11 = 4 E J L 1 + 4 E J L 2 = 4   . 1500 5 + 4   . 1500 2 = 4200

    β 21 = 2 E J L 2 = 2   .   1500 2 = 1500

    β 31 = 0

    Passo 4

    Agora vamos rotacionar a chapa 2, para podermos determinar os valores de β 22 , β 12 e β 32 .

    Perceba que as duas barras horizontais que chegam na chapa 2 são Bi-engastadas, e a barra vertical que chega na chapa 2 é engastada e apoiada, logo as fórmulas a serem usadas são:

    Substituindo certinho temos que:

    Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

    β 12 = 2 E J L 2 = 2   . 1500 2 = 1500

    β 22 = 4 E J L 2 + 3 E J L 3 + 4 E J L 4 = 4   .     1500 2 + 3   .     1500 5 + 4     .     1500 1 = 9900

    β 32 = 2 E J L 4 = 2   . 1500 1 = 3000

    Passo 5

    Agora vamos rotacionar a chapa 3, para podermos determinar os valores de β 33 , β 13 e β 23 .

    Perceba que a barra horizontal que chega na chapa 3 é Bi-engastadas, e a barra vertical que chega na chapa 3 é engastada e apoiada, logo as fórmulas a serem usadas são:

    Substituindo certinho temos que:

    Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

    β 23 = 2 E J L 4 = 2   . 1500 1 = 3000

    β 33 = 4 E J L 4 + 3 E J L 5 + 4 E J L 6 = 4   .     1500 1 + 3   .     1500 5 + 4     .     1500 2 = 9900

    β 13 = 0

    Passo 6

    Organizando o sistema temos que:

    β 10 + β 11 ∇ 1 + β 12 ∇ 2 + β 13 ∇ 3 = 0

    β 20 + β 21 ∇ 1 + β 22 ∇ 2 + β 23 ∇ 3 = 0

    β 30 + β 31 ∇ 1 + β 32 ∇ 2 + β 33 ∇ 3 = 0

    Substituindo temos que:

    - 7,5 + 4200 ∇ 1 + 1500 ∇ 2 + 0 ∇ 3 = 0

    - 5,0 + 1500 ∇ 1 + 9900 ∇ 2 + 3000 ∇ 3 = 0

    5,0 + 0 ∇ 1 + 3000 ∇ 2 + 9900 ∇ 3 = 0

    Assim o nosso sistema será:

    4200 ∇ 1 + 1500 ∇ 2 + 0 ∇ 3 = 7,5

    1500 ∇ 1 + 9900 ∇ 2 + 3000 ∇ 3 = 5,0

    0 ∇ 1 + 3000 ∇ 2 + 9900 ∇ 3 = - 5,0

    Resposta

    4200 ∇ 1 + 1500 ∇ 2 + 0 ∇ 3 = 7,5

    1500 ∇ 1 + 9900 ∇ 2 + 3000 ∇ 3 = 5,0

    0 ∇ 1 + 3000 ∇ 2 + 9900 ∇ 3 = - 5,0

    Exercício Resolvido #7

    Determine e resolva equação da estrutura dada abaixo. Dado: E J = 1500   k N m 2

    Utilize as seguintes tabelas:

    Passo 1

    Fala, pessoal!!! A questão pede para determinarmos as equações que regem esse problema e para isso a primeira coisa que devemos fazer é saber trocar corretamente os apoios. Neste caso só vamos precisar impedir a rotação em B obtendo:

    Agora sabemos que temos 1 chapas na nossa estrutura, como podemos ver ali em cima. Como temos apenas uma chapa vamos ter uma equação da forma:

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    Mas a questão não para aí né, a gente tem que achar os valores de β 10 e β 11 também! Vamos ver isso com mais detalhes nos próximos passos!

    Passo 2

    Para determinar os valores desses coeficientes nós precisamos combinar o carregamento com a condição dos apoios através da tabelinha:

    Vamos descobrir primeiro o valor de β 10 então!

    Olhando a conta para cara barra teremos que:

    Perceba que não há carga na barra A B !

    Substituindo os valores vamos ter:

    Ou seja, o valor de β 10 é:

    β 10 = + 70 6 2 8

    β 10 = 315

    Passo 3

    Agora vamos calcular β 11 . Para isso vamos precisar da outra tabelinha:

    Vamos rotacionar a chapa B e obtemos:

    Dessa forma vamos ter:

    β 11 = 4 E J L 1 + 3 E J L 2 = 4   . 1500 8 + 3   . 1500 6 = 1500

    Passo 4

    Organizando o sistema temos que:

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    Substituindo:

    315 + 1 5 0 0 . Δ 1 = 0

    E podemos calcular a deformação:

    Δ 1 = - 315 1500 = - 0,21   r a d

    Resposta

    β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

    315 + 1500 . Δ 1 = 0

    Δ 1 = - 0,21   r a d

    Exercício Resolvido #8

    Determine as seguintes rigidezes: ( β 11 ,   β 1 2 ,     β 1 3 ,     β 2 2 ,     β 2 1 ,     β 23 ,     β 33 ,     β 32 ,     β 3 1 )

    Passo 1

    Sabemos que temos 2 chapas na nossa estrutura e um apoio do primeiro gênero, como podemos ver ali em cima. Uma parada legal a ser feita é contabilizar tudo que devemos determinar em cada chapa e apoio , se fizermos isso obtemos o seguinte:

    Como não temos carregamento, não precisamos determinar β 10 , nem β 2 0 e nem β 3 0 .

    Passo 2

    Agora vamos rotacionar a chapa 1, para podermos determinar os valores de β 11 , β 21 e β 31 .

    Perceba que as duas barras que chegam na chapa 1 são Bi-engastadas, logo a fórmula a ser usada é:

    Substituindo certinho temos que:

    Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

    β 11 = 4 E J L 1 + 4 E J L 2 = 4   . 1500 4 + 4   . 1500 2 = 4 5 00

    β 21 = 2 E J L 2 = 2   .   1500 2 = 1500

    Para o valor de β 31 precisamos fazer a reação de apoio, sendo assim teremos que:

    - 4 V 1 + 1500 + 750 = 0

    V 1 = 562,5

    O que podemos admitir para facilitar o cálculo é que o sentido da reação do apoio do primeiro gênero é no mesmo sentido da reação que calculamos na barra, ou seja, se acharmos V1 pra frente, o final é positivo porque a reação no apoio é positiva. Logo:

    β 31 = 562,5

    Obs:. Isso acontece porque a reação que calculamos age na estrutura, ou seja, temos que passar ela com o sinal invertido para saber como ela age no apoio ( ou seja, ela está para frente da maneira que calculamos, mas invertemos o seu sentido para ela agir no apoio, ou seja, para trás. Se ele age para trás no apoio, qual vai ser a reação do apoio? Pra frente, certo? Ou seja, o mesmo sentido do vetor que calculamos ali em cima, que é pra frente, viu como assim é mais complexo? Então só lembrar que a reação de apoio tem o mesmo sentido do vetor calculado, que fica tudo lindo.

    Passo 3

    Agora vamos rotacionar a chapa 2, para podermos determinar os valores de β 22 , β 12 e β 32 .

    Perceba que a barra horizontal que chega na chapa 2 é Bi-engastadas, e a barra vertical que chega na chapa 2 é engastada e apoiada, logo as fórmulas a serem usadas são:

    Substituindo certinho temos que:

    Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

    β 1 2 = 2 E J L 2 = 2   . 1500 2 = 1500

    β 2 2 = 4 E J L 2 + 3 E J L 3 = 4   .     1500 2 + 3   .     1500 4 = 4125

    Perceba que a única barra a dar reação horizontal é a barra 3, sendo assim teremos que:

    - 4 V 2 + 1125 = 0

    V 2 = 281,25

    O que podemos admitir para facilitar o cálculo é que o sentido da reação do apoio do primeiro gênero é no mesmo sentido da reação que calculamos na barra, ou seja, se acharmos V1 pra frente, o final é positivo pra frente porque a reação no apoio é positiva pra frente. Logo:

    β 3 2 = 281,25

    Passo 4

    Agora perceba que temos o apoio 3, certo? Nesse caso não rotacionamos, mas deslocamos o nosso apoio de 1 unidade, para podermos determinar os valores de β 33 , β 13 e β 23 .

    Quando movimentarmos o apoio, ele afetará TODAS as barras verticais, por isso temos que tomar cuidado, e como se trata de deslocamento e não de rotação, a nossa fórmula será.

    Perceba que a barra vertical da esquerda é Bi-engastada, logo usaremos uma das fórmulas, e para outra que é engasta e apoiada usaremos a outra, sendo assim teremos que:

    Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

    β 23 = 3 E J ρ L 3 2 = 3   . 1500   .   1   4 2 = 281,25

    β 13 = 6 E J ρ L 1 2 = 6   .   1500   . 1 4 2 = 562,5

    Perceba que as duas barras produzem reações horizontais que serão armazenadas no nosso apoio do primeiro gênero. Sendo assim teremos que:

    - 4 V 2 + 562,5 + 562,5 = 0

    V 2 = 281,25

    - 4 V 4 + 281,25 = 0

    V 4 = 70,3125

    Como V1 e V3 são iguais aos valores das suas respectivas barras, e são as reações na mesma altura no apoio do primeiro gênero, basta somarmos a fazermos o macete de mantermos o sentido da reação calculada, que obtemos que o nosso β 33 será dado por:

    β 33 = 281,25 + 70,3125 = 351,56

    E assim determinamos todas as rigidezes pedidas.

    Resposta

    β 11 = 4500

    β 12 = 1500

    β 13 = 562,5

    β 22 = 4125

    β 21 = 1500

    β 23 = 281,25

    β 33 = 351,56

    β 32 = 281,25

    β 31 = 562,5