Inclinação e deslocamento por integração

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Teoria

Bom dia, boa tarde, boa noite, boa madrugada, galeraaa!!! Tudo de boinhas com vocês? Espero que sim!

No tópico passado a gente falou um pouco do conceito da linha elástica que é basicamente o diagrama de deflexão de um componente (viga, barra etc..). Se você não viu esse tópico introdutório eu acho que é interessante pelo menos bater o olho lá. É um tópico bem de boas e bem introdutório =D

Dito isso, neste conteúdo aqui vamos abordar como calcular a linha elástica pra valer! Antes a a gente só produziu uns esqueminhas, agora vamos para os números!

A equação da linha estática

Pessoal, vamos pegar o mesmo exemplo do tópico anterior. Então, imagina que uma viga reta, bi apoiada, é submetida a uma força pontual. Como representado abaixo:

Por causa dessa força a viga vai se deformar da seguinte forma:

A viga é representada em azul enquanto a linha elástica está em preto. A linha elástica mostra como é a deformação (deflexão) da viga.

Até aqui foi a mesma coisa de antes. Mas eu tenho uma dúvida, quanto vale a flecha no ponto central?

Lembra o que é flecha?

Flecha é a deflexão, a variação em y (vertical). É a barriguinha da barra pô! E é isso que vamos calcular, afinal a linha elástica é o diagrama de deflexão, lembram?

Para isso a gente tem que lembrar da equação do raio de curvatura ρ

1 ρ = M E I

Onde:

  • ρ é o raio de curvatura.
  • M é o momento fletor no ponto.
  • E é a constante de elasticidade.
  • I é o momento de inércia.

Agora vou mostrar uma parada pra vocês e não se assustem (e digo mais, nem precisam ficar tentando entender muito a equação a seguir não, é mais para vocês saberem de onde vem mesmo. Mas não se preocupem se não entenderem).

Uma curva plana, com raio de curvatura ρ , no eixo ( x , y ) pode ser definida como:

1 ρ = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2  

Eu avisei...

Mas fiquem tranquilos, vai ficar bem mais fácil porque o termo d y / d x representa a declividade (o ângulo θ ). Para refrescar a memória..

Mas olha só! Para os casos reais esse ângulo é muuuito pequeno. Ou seja, o termo d y d x 2 pode ser desprezado e vamos obter:

1 ρ = d 2 y d x 2

Como o raio de curvatura era:

1 ρ = M E I

Então vamos ter:

Onde a y é a função dalinha elástica e M a função que define o momento fletor, ambas em x . Podemos dizer que são y ( x ) e M ( x ) , já que são funções.

Pessoal, aqui vai uma observação!! Como, na maioria dos casos, vamos ter diferentes funções de momento para diferentes seções da barra na maior parte das vezes vamos ter que separar o cálculo da linha elástica para cada seção, beleza?

Um exemplo prático

Vamos fazer um exercício para visualizar melhor isso aí!!

Ache a equação da linha elástica para uma viga com um lado engastado e outro livre, com 4   m de comprimento. Dado que o momento fletor varia da forma M x = - 10 x .

Solução:

Esse exercício já nos dá basicamente tudo e é só utilizarmos a equação da linha elástica.

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo vamos ter:

d 2 y d x 2 = - 10 x E I

Agora vamos integrar:

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ - 10 x E I   d x

Lembrando que tínhamos uma integral de uma derivada então a ordem da derivada diminui de um grau. E que o termo E I é uma constante:

d y d x = 1 E I ∫ - 10 x   d x

d y d x = 1 E I × [ - 5 x 2 + C 1 ]

Mas quem é C 1 ? O termo d y / d x não igual à declividade θ ? Então o termo C 1 tem a ver com a angulação! Como a viga está engastada em x = 0   m nós vamos aplicar essa condição de contorno. Caso tenha esquecido das condições de contorno..

Para x = 0   m

0 = 1 E I × [ - 5 ( 0 ) 2 + C 1 ]

Assim vamos ter que C 1 vale:

0 = 1 E I × [ 0 + C 1 ]

C 1 = 0

Substituindo novamente na equação:

d y d x = 1 E I × - 5 x 2

Agora vamos integrar novamente porque queremos o y !!

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I × - 5 x 2   d x

y = 1 E I ∫ - 5 x 2   d x

y = 1 E I [ - 5 3 x 3 + C 2 ]

E agora C 2 é igual à flecha! Como temos uma posição engastada em x = 0   m então vamos ter que a flecha em x = 4   m ! Substituindo

0 = 1 E I [ - 5 3 4 3 + C 2 ]

C 2 = 4 3 × 5 3

C 2 = 106,66

Assim vamos ter que a equação da linha elástica vale:

y = 1 E I - 5 3 x 3 + 106,66

Carga e momentos fletores

Pessoal, na maior parte das vezes o problema não vai dar o momento fletor mas vai dar a carga aplicada à viga. A única diferença vai ser vamos ter que calcular o momento fletor antes de aplicar a equação da linha elástica!

Prontos para os exercícios?

Um exemplo prático

Carga e momentos fletores

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a equação da linha elástica para a viga utilizando a coordenada x válida para 0 ≤ x ≤ L / 2 . Especifique a inclinação em A e a flexão máxima da viga. E I é constante.

Passo 1

Galera essa questão é bem direta e pede para a gente achar a linha elástica. A gente só tem que achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Neste exercício é pedido apenas a equação linha estática à esquerda da força P (perceba a direção de x ).

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F y = 0

∑ M = 0

Para as forças em y :

∑ F y = 0

A y - P + B y = 0

A y + B y = P

Pessoal, como se trata de um problema simétrico nem precisamos aplicar o somatório dos momentos já que as forças A y e B y serão iguais! Sendo assim,

A y = B y = P 2

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor, lembrando que precisamos apenas da metade esquerda. Logo, podemos desenhar o seguinte corte:

Fazendo o somatório das forças em y de modo a achar a força cortante:

∑ F y = 0

A y - V = 0

V = A y = P 2

Agora podemos achar o momento fletor, fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M A = 0

V x - M = 0

M = V x = P x 2

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = P x 2 E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P x 2 E I   d x

d y d x = 1 2 E I P x 2 2 + C 1

Mas pessoal, se liga na sacada mestre!!!

Como temos um problema simétrico, então no ponto central da viga vamos ter que θ , a inclinação, vale zero!!

Sendo assim podemos substituir na equação acima para achar C 1 :

d y d x = θ = 0

0 = 1 2 E I P ( L / 2 ) 2 2 + C 1

C 1 = - P L 2 8

Então temos:

d y d x = 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8

E podemos integrar novamente para achar y :

∫ d y d x   d x = ∫ 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8   d x

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x + C 2

Agora vamos utilizar as condições de contorno para achar as contantes, olhando a nossa tabelinha a gente percebe que temos de utilizar as seguintes condições:

y p i n o = 0

Como o pino se encontra em x = 0 é só substituir e achar:

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x + C 2

0 = 1 2 E I P 0 3 6 + - P L 2 8 0 + C 2

Logo,

C 2 = 0

Então a equação que temos é a seguinte:

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x

Que pode ser expressa como:

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

Já temos a primeira parte do problema que é a linha elástica.

Passo 5

Agora vamos calcular a inclinação em A , como a inclinação é dada pela equação:

θ = d y d x = 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8

É só substituir x = 0

θ = 1 2 E I P 0 2 2 - P L 2 8

θ A = - P L 2 16 E I

A deflexão máxima ocorre no ponto central (pelo motivo de simetria) e vai ser dada por:

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

Substituindo x = L / 2

y = P L 2 48 E I 4 L 2 2 - 3 L 2

y m á x = P L 96 E I ( L 2 - 3 L 2 )

y m á x = - P L 3 48 E I

Resposta

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

θ A = - P L 2 16 E I

y m á x = - P L 3 48 E I

Exercício Resolvido #2

Uma viga engastada está sujeita a uma força P conforme o desenho abaixo. Considerando E I constante encontre a equação da linha elástica. Encontre também a máxima deflexão e inclinação.

Passo 1

A gente tem que achar a linha elástica e para isso precisamos achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Lembrando que temos de utilizar as condições de contorno dadas por aquela nossa tabelinha:

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Como só existe uma força em x :

R x = 0

Para as forças em y :

∑ F y = 0

R y - P = 0

R y = P

Para os momentos considerando o sentido horário positivo e aplicados na extremidade engastada vamos ter:

∑ M = 0

M R + P a = 0

M R = - P a

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor, realizando um corte entre o engaste e a aplicação da força P vamos ter:

Fazendo o somatório das forças em y de modo a achar a força cortante:

∑ F y = 0

P - V = 0

V = P

Agora podemos achar o momento fletor, fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M = 0

V x + P a - M = 0

M = V x + P a

M = P ( x + a )

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = P ( x + a ) E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P ( x + a ) E I   d x

d y d x = 1 E I P x 2 2 + P a x + C 1

Agora podemos utilizar a condição de contorno referente ao ângulo (porque d y / d x = θ ). Com isso vamos ter que a inclinação em x = 0 (no ponto de engaste) é nula. Se quiser volta lá na tabelinha pra conferir =D

Substituindo os valores vamos ter:

d y d x = θ = 0

0 = 1 E I P 0 2 + P a 0 + C 1

Logo,

C 1 = 0

Nossa equação fica da forma:

θ = 1 E I P x 2 2 + P a x

θ = P x 2 E I x 2 + 2 a

Com isso já da para achar a maior inclinação. Podemos perceber que essa função é estritamente crescente, sendo assim o maior valor da inclinação ocorrerá no maior ponto de x ou seja x = L :

θ = P L 2 E I L 2 + 2 a

Passo 5

Agora vamos derivar a equação novamente para achar a linha elástica:

d y d x = 1 E I P x 2 2 + P a x

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I P x 2 2 + P a x   d x

y = 1 E I P x 3 6 + P a x 2 2 + C 2

Como no engaste ( x = 0 ) não temos deflexão vamos ter:

0 = 1 E I P 0 3 6 + P a 0 2 2 + C 2

Sendo assim

C 2 = 0

E a equação da linha elástica é dada por:

y = 1 E I P x 3 6 + P a x 2 2

y = P x 2 6 E I x + 3 a

Passo 6

Da mesma forma que a inclinação, a linha elástica vai ser estritamente crescente. Sendo assim, vamos ter o maior valor em x = L obtendo:

y = P L 2 6 E I L + 3 a

Resposta

y = P x 2 6 E I x + 3 a

θ m á x = P L 2 E I L 2 + 2 a

y m á x = P L 2 6 E I L + 3 a

Exercício Resolvido #3

Uma viga engastada está sujeita a uma carga w conforme o desenho abaixo. Considerando E I constante encontre a equação da linha elástica.

Passo 1

Pessoal esse problema é muito parecido com o anteior e a gente tem que achar a linha elástica também. Para isso, como sabemos, precisamos achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

O que vai mudar aqui vai ser a forma de calcular o momento fletor, vamos fazer isso por meio de integral!

Lembrando que temos de utilizar as condições de contorno dadas por aquela nossa tabelinha:

Passo 2

Galera, vocês devem lembrar que a força cortante é a derivada do momento fletor. Se não lembravam agora vocês sabem =P

Além disso, a carga distribuída w é a derivada da força cortante. Então a gente tem o seguinte olha só:

V = d M d x

w = - d V d x

Esse sinal de menos é muito importante ok? Não podemos esquecer! Ele aparece porque a cortante tem o sentido oposto do carregamento.

Então, a gente pode falar que:

w = - d 2 M d x 2

Né? É só derivar o momento fletor duas vezes que vamos ter a carga.

Mas pessoal a equação da linha elástica não é dada por:

d 2 y d x 2 = M E I

Então a gente pode derivar duas vezes e vamos ter:

d 4 y d x 4 = 1 E I d 2 M d x 2

Agora podemos substituir o termod a direita pelo carregamento e obter:

d 4 y d x 4 = 1 E I ( - w )

Desta forma podemos achar a linha elástica diretamente do carregamento

d 4 y d x 4 = - w E I

Passo 3

Aplicando esse conceito ao problema vamos ter:

d 4 y d x 4 = - w E I

Podemos reorganizar da forma:

E I d 4 y d x 4 = - w

Aí é só ir derivando rs. A primeira derivada temos:

∫ E I d 4 y d x 4   d x = ∫ - w   d x

E I d 3 y d x = - w x + C 1

Derivando novamente:

∫ E I d 3 y d x   d x = ∫ - w x + C 1   d x

E I d 2 y d x 2 = - w x 2 2 + C 1 x + C 2

Derivando pela terceira vez:

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ - w x 2 2 + C 1 x + C 2   d x

E I d y d x = - w x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

Derivando pela quarta e última vez:

∫ d y d x   d x = ∫ - w x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3   d x

E I y = - w x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

Agora é “só” achar as quatro constantes rs

Passo 4

Pessoal, para achar essas constantes a gente tem que reparar que cada uma delas, por estar associada a cada etapa de integração, vai estar associada aos termos da força cortante, momento fletor, inclinação e deflexão.

Vamos um pouco mais devagar. Lá na primeira integral a gente tinha:

E I d 3 y d x = - w x + C 1

O termo da esquerda é a primeira integral de w logo é igual à força cortante e podemos escrever:

V = - w x + C 1

Logo se a gente conseguir achar a força cortante em algum ponto da nossa viga vamos poder achar C 1 !

Na extremidade livre não temos força cortante, portanto:

0 = - w L + C 1

C 1 = w L

Tranquilo né?

Passo 5

Agora vamos para a segunda integral, já considerando o valor de C 1 = w L :

E I d 2 y d x 2 = - w x 2 2 + w L x + C 2

Essa integral se refere ao momento fletor e pode ser escrita como:

M = - w x 2 2 + w L x + C 2

Vamos aplicar o mesmo conceito e, ao perceber que também não existe momento fletor na extremidade livre, vamos obter:

0 = - w L 2 2 + w L 2 + C 2