Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto médio C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Nesse caso podemos escrever direto a função de singularidade para o cisalhamento, já que não temos carregamento distribuído, então teremos:

V = A y - P < x - L 3 > 0

Passo 3

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = A y - P < x - L 3 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = A y x - P < x - L 3 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não teremos o momento localizado em A, então teremos:

C = M A

Então nossa equação para o momento será:

M = A y x - P < x - L 3 > 1 + M A

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = A y x - P < x - L 3 > 1 + M A

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = A y x 2 2 - P 2 < x - L 3 > 2 + M A x + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos utilizar a condição de contorno no engaste em A, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:

x = 0   m → d y d x = 0

Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:

E I . 0 = A y 0 2 2 - P 2 < 0 - L 3 > 2 + M A ( 0 ) + C 1

C 1 = 0

Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = A y x 3 6 - P 6 < x - L 3 > 3 + M A x 2 2 + C 2

Passo 5

Agora para encontrar o valor da constante C 2 , nós vamos utilizar a condição de contorno no ponto A, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . ( 0 ) = A y ( 0 ) 3 6 - P 6 < 0 - L 3 > 3 + M A ( 0 ) 2 2 + C 2

C 2 = 0

Então a equação para a linha elástica será:

E I . y = A y x 3 6 - P 6 < x - L 3 > 3 + M A x 2 2 + C 2

y = 1 E I A y x 3 6 - P 6 < x - L 3 > 3 + M A x 2 2

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = A y x 2 2 - P 2 < x - L 3 > 2 + M A x + C 1

d y d x = 1 E I A y x 2 2 - P 2 < x - L 3 > 2 + M A x

Passo 6

Agora para descobrir o valor da reação em A pedido na letra (a), vamos utilizar as condições de contorno para o engaste B, onde sabemos que:

x = L → d y d x = 0

x = L → y = 0

Substituindo a primeira condição de contorno na equação da inclinação obtida no passo 5, teremos:

0 = 1 E I A y L 2 2 - P 2 < L - L 3 > 2 + M A L

0 = A y L 2 2 - P 2 2 L 3 2 + M A L → A y L 2 2 - 2 P L 2 9 + M A L = 0

Essa será nossa equação 1. Agora, vamos substituir as condições de contorno para a deflexão no ponto B, então teremos:

0 = 1 E I A y ( L ) 3 6 - P 6 < L - L 3 > 3 + M A ( L ) 2 2

0 = A y L 3 6 - P 6 2 L 3 3 + M A L 2 2 → A y L 3 6 - 8 P L 3 162 + M A L 2 2 = 0

Essa será nossa equação 2. Agora vamos multiplicar a segunda equação por ( - 2 / L ) e depois somar com a segunda, então teremos:

A y L 3 6 - 8 P L 3 162 + M A L 2 2 = 0 → - 2 L → - 2 A y L 2 6 + 16 P L 2 162 - M A L = 0

Somando essa equação com a primeira, temos:

A y L 2 2 - 2 P L 2 9 + M A L = 0

+

- 2 A y L 2 6 + 16 P L 2 162 - M A L = 0

=

0,1666 A y L 2 - 0,1234 P L 2 = 0 → A y = 0,74 P

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = L / 2 , além de substituir as expressões que já conhecemos. Só que antes, vamos precisar da expressão para M A , que podemos encontrar através de uma das relações do passo 6. Então pegando a equação 1, teremos:

A y L 2 2 - 2 P L 2 9 + M A L = 0

Substituindo a expressão encontrada para A y , chegamos em:

( 0,74 P ) L 2 2 - 2 P L 2 9 + M A L = 0 → M A = - 0,1478 P L

Agora sim vamos calcular a deflexão no ponto C, onde teremos:

y = 1 E I 0,74 P L 2 3 6 - P 6 < L 2 - L 3 > 3 + - 0,1478 P L L 2 2 2

y = 1 E I 0,015417 P L 3 - 0,7716.10 - 3 P L 3 - 0,018475 P L 3

y = - 3,8296.10 - 3 P L 3 E I

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : A y = 0,74 P

b : y = - 3,8296.10 - 3 P L 3 E I

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