Método da integração

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Teoria

Equações e reações

Fala aí, galerinha marota! Hoje a gente vai bater um papo sobre o tema vigas e eixos estaticamente indeterminados. Quando nós temos uma viga ou um eixo estaticamente indeterminado isso significa que não é possível achar todas as reações apenas pelas equações da estática, temos um sistema hiperestático, como o mostrado abaixo.

O carregamento mostrado na figura da esquerda possui as reações mostradas na figura da direita. É possível ver que existem 4 reações (duas forças no eixo vertical, uma no eixo horizontal e um momento devido ao engaste).

Mas aí que está a questão, se a gente fosse resolver esse problema apenas pelas equações da estática nós teríamos apenas 3 equações:

  1. Somatório das forças em y
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y - 100 × 7 = 0

  3. Somatório das forças em x
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Somatório dos momentos (aqui vamos fazer em relação ao ponto de engaste e considerar o sentido anti-horário positivo)

∑ M = 0

M 0 - 100 × 7 × 7 2 + ( B y × 7 ) = 0

Perceba que se nós temos 4 incógnitas e 3 equações então o nosso sistema não pode ser determinado utilizando apenas essas três equações. Como vamos proceder então?

Vamos resolver isso utilizando a linha elástica!

Relembrando a linha elástica

Nós vamos poder resolver esse sistema com a ajuda da nossa amiga linha elástica.

Caso você já tenha esquecido da nossa miguxa, nós podemos calcular a linha elástica como:

E I d 2 y d x 2 = M

Onde:

  • E é o coeficiente de elasticidade.
  • I é o momento de inércia.
  • y é a deflexão da linha elástica.
  • M a equação do momento fletor.

Agora vamos aprender como o método realmente funciona e é bem simples! O que vamos fazer é utilizar a equação da linha elástica para ter mais uma equação e com isso poder resolver o sistema. Na teoria é bem simples, na prática pode ser um pouco complicado, mas vamos fazer juntos com calma.

Cálculo do momento fletor

Que tal pegar o nosso exemplo inicial novamente? A gente tinha o seguinte:

Como a equação da linha elástica depende da equação do momento fletor, vamos achar essa equação. Para isso vamos realizar um corte na viga de forma a obtermos a força cortante V e o momento fletor M .

Pessoal, a gente quer a equação do momento fletor, correto? Então a gente precisa utilizar apenas a equação do somatório dos momentos. Além disso, a força cortante não nos interessa então para facilitar o cálculo vamos aplicar o somatório dos momentos em relação à extremidade direita da seção.

∑ M = 0

Abaixo vou mostrar apenas as forças que de fato causam momento, também está representado a força concentrada relativa ao carregamento uniforme:

Vamos considerar o sentido anti-horário positivo e teremos

M 0 - A y   .     x + 100   .     x   .     x 2 + M = 0

Isolando o momento fletor vamos ter a seguinte equação.

M = - 50 x 2 + A y x - M 0

obs: talvez você esteja mais acostumado a utilizar com relação ao lado esquerdo, se for o caso pode fazer assim o resultado não vai mudar – o importante é colocar a força cortante em função das outras forças.

Cálculo da linha elástica

Essa é a parte mais importante e é só substituir a equação do momento na equação da linha elástica.

E I d 2 y d x 2 = M

E I d 2 y d x 2 = - 50 x 2 + A y x - M 0

Galera, não se assustem com essa equação diferencial!

Sério, essa equação não é muito difícil de resolver não. Presta atenção, a gente vai simplesmente integrar dos dois lados em função de x :

∫ E I d 2 y d x 2 d x = ∫ - 50 x 2 + A y x - M 0   d x

Lembrando que o termo E I é, na grande maioria das vezes, uma constante, logo nós vamos ter

E I d y d x = - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1

E agora vamos integrar novamente

∫ E I d y d x d x = ∫ - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1   d x

E I . y = - 50 12 x 4 + A y 6 x 3 - M 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

Aí agora você olha para isso e fala assim “não acredito ganhei uma equação, mas ela veio com mais duas incógnitas ( C 1 e C 2 ), não adiantou de nada!! Que ódioooo”

Mas calma, jovem, eu vou te contar um segredo. Existem as condições de contorno, elas vão salvar a pátria. Se liga no próximo passo como isso vai acontecer

Encontrando as condições de contorno

Para que a gente possa resolver a equação da linha elástica a gente precisa das condições de contorno. Essas condições consistem basicamente em saber quando a deflexão y e quando a angulação θ são iguais a zero.

Além disso é importante lembrar que a angulação θ é igual à primeira derivada de y

θ = d y d x

Resumindo as equações de contorno são as seguintes:

Olhando o nosso problema nós vamos ter que no lado esquerdo temos um engaste e no lado direito uma rótula:

Dessa forma temos três equações de contorno que refletem a linha elástica, representada abaixo:

y = 0 → e m   x = 0

θ = 0 →   e m   x = 0

y = 0 → e m   x = 7   m

Demorou!! Mas a gente fez isso para que mesmo? Se lembra da equação da linha elástica?

E I . y = - 50 12 x 4 + A y 6 x 3 - M 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

Como nós temos 3 pontos para substituir nessa equação a gente vai conseguir achar C 1 , C 2 e não vamos achar A y ou M 0 diretamente, mas vamos achar uma equação que relacione A y e M 0 . Essa equação vai ser a nossa 4ª equação (juntamente com as três da estática) que utilizaremos para achar todas as reações!!

Realizando a substituição

Primeiro vamos utilizar a equação da inclinação.

E I d y d x = - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1

lembra que θ = d y / d x ? Então vamos ter:

E I . θ = - 50 3 x 3 + A y 2 x 2 - M 0 x + C 1

Substituindo x = 0 e θ = 0

E I . 0 = - 50 3 0 3 + A y 2 0 2 - M 0 . 0 + C 1

C 1 = 0

Agora vamos substituir na equação da deflexão.

E I . y = - 50 12 x 4 + A y 6 x 3 - M 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

Substituindo x = 0 e y = 0

E I . 0 = - 50 12 0 4 + A y 6 0 3 - M 0 2 0 2 + C 1 . 0 + C 2

C 2 = 0

E finalmente substituindo x = 7 e y = 0

E I . 0 = - 50 12 7 4 + A y 6 7 3 - M 0 2 7 2 + C 1 . 7 + C 2

0 = - 50 12 7 4 + A y 6 7 3 - M 0 2 7 2

0 = - 50 12 49 + A y 6 7 - M 0 2

0 = - 204,16 + A y 6 7 - M 0 2

A y = 3 M 0 7 + 175

Galera, percebam que a gente fez isso tudo só para achar mais uma equação que relaciona duas incógnitas lá do começo. Agora para achar as reações a gente tem que utilizar as 3 equações da estática.

Achando as reações

As três equações que a gente tinha lá do começo eram:

  1. Somatório das forças em y
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = 100 × 7

  3. Somatório das forças em x
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Somatório dos momentos (aqui vamos fazer em relação ao ponto de engaste e considerar a sentido anti-horário positivo)
  6. ∑ M = 0

    M 0 - 100 × 7 × 7 2 + ( B y × 7 ) = 0

  7. Agora a gente tem a quarta equação!

A y = 3 M 0 7 + 175

Aí é só resolver o sistema:

M 0 = 612,5   k N . m

B y = 262,5   k N

A x = 0

A y = 437,5   k N

Uhullll!!!! Achamos o nosso resultado! Viram que com o auxílio da linha elástica é possível achar as reações mesmo em vigas estaticamente indeterminadas? Claro que sim né!

Cálculo do momento fletor

Cálculo da linha elástica

Encontrando as condições de contorno

Realizando a substituição

Achando as reações

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as reações nos apoios A e B ; em seguida, trace o diagrama de momento fletor. Considere E I constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Vamos resolver um exercício de vigas e eixos estaticamente indeterminados uhullll!!

O mais importante nesse problema é entender que ele não pode ser resolvido apenas pelas equações da estática porque é um problema hiperestático (tem um engaste e um apoio), então vamos utilizar a equação da linha elástica também, belezinha?

Então vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre para entender como as reações são nesta questão e achar 3 equações. Depois a gente vai utilizar a equação da linha elástica como a nossa 4ª equação.

Então partiu!

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre:

Observe que existem 4 reações e por isso que precisamos de 4 equações também. De qualquer forma vamos escrever as equações da estática para ver o que temos:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = 0

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

M 0 + ( B y × 5 ) + 10 = 0

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força A x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica, que é a parte mais legal da questão!

Boa que usou meme!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Onde M é a equação do momento fletor. Então a gente precisa saber como o momento fletor se comporta nessa viga. Nós vamos fazer isso pelo método convencional das seções, belezinha?

Então fazendo um corte nessa viga vamos ter:

Pessoal, como queremos apenas o momento fletor então a gente parte direto para a equação do somatório dos momentos. Além disso para não precisar calcular o valor da força cortante vamos considerar o ponto de aplicação bem no corte:

∑ M = 0

M 0 - A y × x + M = 0

M = A y   .     x - M 0

Pronto! Acabamos de achar a equação do momento fletor!

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = A y   .     x - M 0

Agora vamos integrar a primeira vez

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ A y   .     x - M 0   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = A y x 2 2 - M 0 x + C 1  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ A y x 2 2 - M 0 x + C 1   d x  

y = A y x 3 6 - M 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No engaste:

x = 0 →   y = 0

x = 0 → θ = 0

Na rótula:

x = 5   m → y = 0

Perceba que na rótula a viga está livre para rotacionar!

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • y = A y x 3 6 - M 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

    0 = A y 0 3 6 - M 0 0 2 2 + C 1 0 + C 2

    C 2 = 0

  • x = 0 → θ = 0
  • E I d y d x = A y x 2 2 - M 0 x + C 1  

    obs: Perceba que vamos utilizar a equação da angulação ( θ ) e não a da deflexão ( y ). Lembre também que θ = d y / d x

    E I θ = A y x 2 2 - M 0 x + C 1

    E I 0 = A y 0 2 2 - M 0 . 0 + C 1  

    C 1 = 0

  • x = 5   m → y = 0

y = A y x 3 6 - M 0 x 2 2

0 = A y ( 5 ) 3 6 - M 0 ( 5 ) 2 2

0 = 5 A y 6 - M 0 2

A y = 3 5 M 0

Essa é a nossa 4ª equação!! Agora é só voltar nas equações do passo 2 e resolver o sistema!

Passo 6

As equações que temos então são:

A y + B y = 0

A x = 0

M 0 + ( B y × 5 ) + 10 = 0

A y = 3 5 M 0

Resolvendo nós vamos ter que:

B y = - A y = - 3 5 M 0

Substituindo na 3ª equação:

M 0 + ( - 3 5 M 0 × 5 ) + 10 = 0

M 0 - 3 M 0 + 10 = 0

Portanto vamos ter:

M 0 = 5   k N . m

A y = 3   k N

B y = - 3 k N

A x = 0

Passo 7

O problema também pediu para traçarmos o diagrama do momento fletor né? Se a gente já tem a equação, que foi achada no passo 3:

M = M 0 - A y   .     x

Substituindo os valores:

M = 5 - 3   .     x

No diagrama vai ficar da forma:

Resposta

Reações:

M 0 = 5   k N . m

A y = 3   k N

B y = - 3 k N

A x = 0

Diagrama:

Exercício Resolvido #2

Determine as reações nos apoios A e B ; em seguida, trace o diagrama de momento fletor. Considere E I constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Vamos resolver mais um probleminha de vigas estaticamente indeterminadas. Dessa vez uma força pontual atua na nossa viga e queremos achar as reações e fazer o momento fletor.

Para isso vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da nossa viga e achar a equação do momento fletor.

Com a equação do momento fletor nós vamos achar a equação da linha elástica

E I . d 2 y d x 2 = M

E com essa nova equação vamos poder resolver o sistema que antes era indeterminado.

Então partiu!

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre:

Observe que existem 4 reações e por isso que precisamos de 4 equações também. De qualquer forma vamos escrever as equações da estática para ver o que temos:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = 2 0

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

M A - ( 20 × 2 ) + ( B y × 10 ) = 0

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força A x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica. Essa é a parte mais crucial da questão!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Então a gente precisa da equação do momento fletor M . Utilizando funções de descontinuidade equação vai ser mais ou menos assim:

M = M A - A y . x + 20 x - 2 1

Mas como que chegamos nessa equação tão rápido? Vem comigo que vou explicar termo a termo:

  • M A é o valor inicial do momento, sempre que temos um engaste a gente tem que adicionar o valor do momento relativo ao próprio engaste.
  • - A y . x é o termo relativo à força cortante. O sinal negativo aparece porque essa força ameniza o momento fletor, vale A y porque a cortante entre 0   e   2 vale A y e temos o termo x porque ela aumenta sua intensidade conforme anda na barra.
  • 20 x - 2 1 é o termo relativo ao momento da força pontual que começa a aparecer apenas depois de x = 2 .

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = M A - A y . x + 20 x - 2 1

Agora vamos derivar a primeira vez

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ M A - A y . x + 20 x - 2 1   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = M A . x - A y 2 . x 2 + 10 x - 2 2 + C 1  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ M A . x - A y 2 . x 2 + 10 x - 2 2 + C 1   d x  

y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 x - 2 3 + C 1 . x + C 2

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No engaste:

x = 0 →   y = 0

x = 0 → θ = 0

Na rótula:

x = 10   m → y = 0

Perceba que na rótula a viga está livre para rotacionar!

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 x - 2 3 + C 1 . x + C 2

    Como x < 2

    y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + C 1 . x + C 2

    Substituindo

    0 = M A 2 . 0 2 - A y 6 . 0 3 + C 1 . 0 + C 2

    C 2 = 0

  • x = 0 → θ = 0
  • E I d y d x = M A . x - A y 2 . x 2 + 10 x - 2 2 + C 1  

    Como x < 2

    E I d y d x = M A . x - A y 2 . x 2 + C 1  

    obs: Perceba que vamos utilizar a equação da angulação ( θ ) e não a da deflexão ( y ). Lembre também que θ = d y / d x

    E I . 0 = M A . 0 - A y 2 . 0 2 + C 1  

    C 1 = 0

  • x = 10   m → y = 0

y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 x - 2 3

Agora x > 2 então:

y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 ( x - 2 ) 3

Substituindo

0 = M A 2 . 10 2 - A y 6 . 10 3 + 10 3 ( 10 - 2 ) 3

0 = 50 M A - 1000 A y 6 + 512 0 3

Essa é a nossa 4ª equação!! Agora é só voltar nas equações do passo 2 e resolver o sistema!

Passo 6

As equações que temos então são:

A y + B y = 20