Método dos momentos de área

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Teoria

Fala, pessoal!!

Que tal aprender mais um método de resolução para vigas e eixos estaticamente indeterminados hein?

Galera, deixa eu falar uma coisa para vocês: a equação da linha elástica fornece mais uma equação de forma que podemos resolver problemas hiperestáticos!!!! Agora vamos ver como resolver isso mas sem focar muito na equação e focando principalmente no diagrama M / E I .

Dessa vez vai ser o diagrama M / E I que vai nos ajudar a achar as resultantes.

Separação dos componentes

Acho que um bom jeito de começar é fazermos esse diagrama para um exemplo prático, você concorda? Segue o exemplo:

Pessoal, a gente não consegue achar diretamente o diagrama M / E I , mas o que a gente pode fazer é dividir esse problema em dois. Vamos fazer isso substituindo o apoio B por uma força de reação B y .

Agora que os componentes estão separados vamos fazer o diagrama de cada um deles.

Diagrama M / E I

Para cada carregamento diferente vamos fazer o respectivo diagrama de momento fletor.

Nosso gráfico final fica com a seguinte forma

Esboçar a linha elástica

Pessoal, agora a gente vai achar uma resultante (no nosso caso B y ). Para fazer isso a gente precisa utilizar a linha elástica e estar ligado nas condições de contorno do nosso problema, se a gente olhar a nossa tabela vamos ter:

Assim, no engaste vamos ter:

y = 0

θ = 0

No apoio:

y = 0

Com isso podemos fazer um esboço da nossa linha elástica.

Percebam que, em A , tanto a inclinação quanto a deflexão são nulas em relação ao original (em verde) e em B a deflexão é nula, porém, há uma certa angulação. Exatamente como as condições de contorno descrevem.

Aplicar a equação para achar uma das reações

Lembrando da linha elástica nós temos que a deflexão relativa t B / A é dada por.

t B / A = x -   .   A

Ou seja, a diferença entre a deflexão do ponto A em relação ao ponto B é igual ao centroide x - da área do gráfico M / E I vezes a área do gráfico. Observe:

IMPORTANTE: Como nós queremos e deflexão de A em relação à B então vamos fazer as áreas nesse mesmo intervalo A → x = 0 até B → x = 3

De modo a facilitar a conta nós vamos dividimos essa área em dois triângulos e um retângulo. Agora é só achar o centroide de cada figura a e sua área.

  1. Triângulo superior
  2. A 1 = 1 2 3 B y E I 3 = 9 B y 2 E I

    x - 1 = 2 3 × 3 = 2

  3. Triângulo inferior
  4. A 2 = 1 2 - 150 E I 3 = - 450 2 E I

    x - 2 = 2 3 × 3 = 2

  5. Retângulo

A 3 = - 150 E I 3 = - 450 E I

x - 3 = 1 2 × 3 = 3 2

Agora vamos somar tudo!

t B / A = ∑ x -   .   A

t B / A = 2 × 9 B y 2 E I - 2 × 450 2 E I - 3 2 × 450 E I

t B / A = 9 B y E I + 1125 E I

Como a deflexão em A e B é igual então vamos ter que

t B / A = 0

Logo,

9 B y E I - 1125 E I = 0

B y = 125   k N

Olha que incrível galera!!! Achamos uma das reações sem nem utilizar as equações da estática!

Achar as outras reações

Para achar as outras reações agora sim recorremos à estática. Fazendo o diagrama de corpo livre:

Para o somatório das forças em x :

∑ F x = 0

A x = 0

Para o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y + 125 - 50 = 0

A y = - 75   k N

Finalmente aplicando o somatório dos momentos no ponto A :

∑ M A = 0

M A + 125 × 3 - 50 × 6 = 0

M A = - 75   k N . m

Achamos todas as reações!!!

Resumo

Logo, para que a gente possa utilizar esse método temos de seguir o seguinte passo a passo:

  • Separar os componentes.
  • Fazer o diagrama M / E I .
  • Esboçar a linha elástica.
  • Aplicar a equação da deflexão ou inclinação relativa entre dois pontos específicos.
  • Achar o valor de uma das reações.
  • Achar as outras reações pelas equações da estática.

Diagrama M / E I

Esboçar a linha elástica

Aplicar a equação para achar uma das reações

Achar as outras reações

Resumo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Faaala, galera!!! E aí como vocês estão, prontos para começarem uns exercícios de método dos momentos de áreas aplicado a vigas estaticamente indeterminadas? Tenho certeza que sim!!!

Vamos lá, então pessoal! Como o próprio tópico já diz estamos falando de vigas estaticamente indeterminadas, isso significa dizer que as reações das vigas não podem ser calculadas com base apenas nas equações da estática, logo a gente vai precisar de mais uma ferramenta para isso.

Essa ferramenta é o diagrama M / E I aliado com um certo conhecimento da linha elástica. Vamos ver como isso nos ajudará!!

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento em dois carregamentos mais simples:

Perceba que não mudamos o carregamento! A única coisa que fizemos foi tirar o apoio B e aplicar uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo vamos representar um esboço da linha elástica:

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 2   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A t B / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

t B / A = 2 3 × 2 1 2 × 2 × 2 B y E I + ( 1 ) ( 2 × - 15 E I )

t B / A = 8 B y 3 E I - 30 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

8 B y 3 E I - 30 E I = 0

B y = 90 8 = 11,25   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 11,25   k N

M A = 11,25 × 2 - 15 = 7,5   k N . m

Resposta

A x = 0

A y = 11,25   k N

B y = 11,25   k N

M A = 7,5   k N . m

Exercício Resolvido #2

Determine as reações ao momento nos apoios A e B ; a seguir trace os diagramas de força cortante e momento fletor. E I é constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas.

O primeiro passo vai ser sempre o mesmo, colocar as reações dos apoios e montar o nosso querido diagrama do corpo livre:

Repara que aqui, nós temos 6 incógnitas que são as reações nos nossos apoios, com isso, precisaríamos de 6 equações para determinar essa viga.

Mas repara só no seguinte, os momentos aplicados na nossa viga possuem o mesmo valor e estão aplicados em pontos simétricos, portanto, podemos dizer que há uma simetria na nossa viga.

Por isso,

A y = B y

A x = B x

M A = M B

Como não existem esforços verticais nem horizontais, não haverá reações nessas direções, portanto:

A y = B y = 0

A x = B x = 0

Com isso, ficamos apenas com duas incógnitas ( M A e   M B ) e uma equação (somatório dos momentos), o que resulta em problema estaticamente indeterminado e para resolve-lo, vamos seguir o passo-a-passo!

  1. Determinar as equações da estática
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno das linhas elásticas
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcular uma reação
  5. Com o valor dessas reações calcular as demais.

Passo 2

Vimos no Passo 1, que só iremos usar a equação do somatórios dos momentos que nesse caso, será:

  • Momento

∑ M = 0

M A - M 0 + M 0 - B y × L - M B = 0

M A = M B + B y L

E como sabemos que o B y é zero, teremos então:

M A = M B

Logo, precisamos de apenas mais uma equação para resolver o problema e essa equação é a da linha elástica!

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I , a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Lembrando que vamos adotar aqui o sentido anti-horário como positivo!

Vamos começar nosso gráfico com o momento igual à M A que é o momento do engaste em A . Ao chegar em x = L / 3 , subtraímos com o momento M 0 dado pelo carregamento nesse ponto que é no sentido horário.

Depois, ao chegar em x = 2 L / 3 , somamos novamente o M 0 , pois agora o carregamento está no sentido anti-horário. E por fim, finalizamos o nosso gráfico, chegando em x = L , quando subtraímos o momento M B , que sabemos que é igual a M A e por isso o nosso gráfico vai pra zero.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas, agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar a nossa próxima equação!

Para isso vamos utilizar as condições de contorno que são:

No engaste x = 0 :

y A = 0

θ A = 0

No engaste x = L

y B = 0

θ B = 0

Então, uma coisa que podemos fazer é aplicar a equação do momento de área entre os pontos x = 0 e x = L e assim vamos achar a inclinação relativa entre eles. Lembrando:

θ B / A =   A

Ah, e se liga, a inclinação relativa entre A e B vai ser zero, afinal θ A = 0   e θ B = 0 .

0 = A

Vamos, encontrar agora essa área:

Agora é só fazer a área dessas figuras:

  1. Da figura número 1:
  2. A 1 = M A × L 3

  3. Da figura número 2:
  4. A 2 = M A - M 0 × L 3

  5. Da figura número 3:

A 3 = M A × L 3

Passo 5

Então somando todos esses termos vamos ter:

θ A / B = ∑ A

0 = A 1 + A 2 + A 3

Pessoal, normalmente quando uma área está localizada abaixa do eixo x a gente tem que colocar um sinal negativo na sua frente, mas como o termo ( M A - M 0 ) já é negativo, porque M 0 é maior do que M A então não vamos fazer isso nesse caso, beleza?

0 = M A × L 3 + M A - M 0 × L 3 + M A × L 3

Mas a inclinação relativa entre A e B é zero, correto? Então vamos ter:

M A × L 3 + M A - M 0 × L 3 + M A × L 3 = 0

M A + M A - M 0 + M A = 0

M A = M 0 3

E sabemos que M B = M A , logo:

M B = M A = M 0 3

Passo 6

Como o problema pede apenas as reações ao momento e vimos que:

A x = B x = 0

A y = B y = 0

Nós vamos ter como resultado:

M A = M B = M 0 3

Resposta

A x = B x = 0

A y = B y = 0

M A = M B = M 0 3

Exercício Resolvido #3

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento:

Perceba que não mudamos o carregamento! A única coisa que fizemos foi tirar o apoio B e aplicar uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo vamos representar um esboço da linha elástica:

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 10   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A t B / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em B , logo, todos as distâncias são referentes a esse ponto.

t B / A = 5 + 2 3 × 5 1 2 × 5 × 250 E I + 2 3 × 10 1 2 × 10 × - 10 B y E I

t B / A = 3125 E I + 12 5 0 0 6 E I - 2000 B y 6 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

3125 E I + 12500 6 E I - 2000 B y 6 E I = 0

B y = 15,625   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 50 - 15,625 = 34,375   k N

M A = 50 × 5 - 15,625 × 10 = 93,75   k N . m

Resposta

A x = 0

A y = 50 - 15,625 = 34,375   k N

B y = 15,625   k N

M A = 50 × 5 - 15,625 × 10 = 93,75   k N . m

Exercício Resolvido #4

Determine as reações nos apoios A e B e trace o diagrama de momento fletor. Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento:

Perceba que não mudamos o carregamento, apenas segregamos em diferentes figuras e retiramos o apoio B e o substituímos por uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo vamos representar um esboço da linha elástica:

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 8   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A t B / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em B , logo, todas as distâncias são referentes a esse ponto.

t B / A = 2 3 × 3 + 5 1 2 × 3 × - 1 2 0 E I + 4 8 × 20 E I + 2 3 × 8 1 2 × 8 × 8 B y E I

t B / A = 7 - 1 80 E I + 4 160 E I + 16 3 32 B y E I

t B / A = - 1260 E I + 640 E I + 512 B y 3 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

- 1260 E I + 640 E I + 512 B y 3 E I = 0

B y = 3,63   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 40 - 3,63 = 3 6,37   k N

M A = 40 × 3 - 3,63 × 8 - 20 = 70,9   k N . m

Passo 7

Fazere o diagrama de momento fletor:

E o diagrama fica da forma:

Resposta

A x = 0

A y = 34,375   k N

B y = 3,63   k N

M A = 70,9   k N . m

Exercício Resolvido #5

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Bom pessoal, vamos resolver mais um problema de vigas estaticamente indeterminadas. Lembrando que vamos seguir o procedimento:

  1. Transformar o apoio em uma força e dividir os carregamentos.
  2. Elaborar os diagramas M / E I
  3. Analisar as condições de contorno da linhas elástica
  4. Utilizar o métodos dos momentos de área para calcaular uma reação
  5. Com o valor dessa reações calcular as demais.

Passo 2

Vamos começar transformando o carregamento:

Perceba que não mudamos o carregamento, apenas segregamos em diferentes figuras e retiramos o apoio B e o substituímos por uma força B y que é a força de reação.

Passo 3

Agora a gente vai fazer o diagrama M / E I a gente vai fazer isso somando os diagramas de cada carregamento.

Passo 4

Beleza! A gente já tem os diagramas agora a gente vai utilizar o conceito de linha elástica para nos ajudar a resolver a questão e achar o valor de B y .

A gente tem que saber como vai ser a configuração da linha elástica e principalmente as condições de contorno. Abaixo está um esboço da linha elástica, nesse caso específico a linha elástica assume uma forma bastante incomum mas não se espante o que precisamos saber é que não há deflexão relativa entre A e B :

As condições são as seguintes:

No engaste x = 0 :

y = 0

θ = 0

Na rótula x = 7   m

y = 0

Passo 5

Agora vamos utilizar essas condições de contorno para achar o valor de B y vamos fazer isso utilizando o método dos momentos das áreas para a linha neutra.

t B / A = x -   .   A

Repare que queremos a deflexão de B em relação à A t B / A que vai ser dada pelas áreas das figuras formadas nos gráficos:

Como temos mais de uma figura:

t B / A = ∑ x -   .   A

Lembre-se que o ponto que estamos analisando está centrado em B , logo, todas as distâncias são referentes a esse ponto.

t B / A = 2 3 × 7 1 2 × 7 × 7 B y E I + 3,5 7 × 10 E I + 1 2 × 10 E I

t B / A = 14 3 49 2 E I + 3,5 70 E I + 1 20 E I

t B / A = 343 B y 3 E I + 245 E I + 20 E I

Como, pelas condições de contorno a deflexão em B é igual à deflexão em A vamos ter que:

t B / A = 0

Sendo assim,

343 B y 3 E I + 245 E I + 20 E I = 0

B y = - 2,2   k N

Passo 6

Agora é só utilizar as equações da estática para achar o resto das reações, fazendo o diagrama de corpo livre:

Podemos ver que:

A x = 0

A y = 2,2   k N

M A = - 10 - 10 + 2,2 × 7 = - 4,6   k N . m

Resposta

A x = 0

A y = 2,2   k N

B y = - 2,2   k N

M A = - 4,6   k N . m