Enunciado

10. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porca são ϵ x = ( 250 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 450 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 825 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações principais no plano e a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x - y .

Passo 1

Primeiro, calcularemos as deformações principais no plano:

ϵ 1,2 =   ϵ x + ϵ y 2 ± ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando os valores numéricos na fórmula:

ϵ 1,2 = 250 + - 450 2 ± 250 - ( - 450 ) 2 2 + ( - 825 ) 2 2   10 - 6

ϵ 1,2 ≅ - 100 × 10 - 6 ± ( 540,977 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ - 100 × 10 - 6 + ( 540,977 × 10 - 6 )

ϵ 1 = ( 441 × 10 - 6 )

ϵ 1,2 ≅ - 100 × 10 - 6 - ( 540,977 × 10 - 6 )

ϵ 2 = ( - 641 × 10 - 6 )

Passo 2

Calculando a tangente de 2 θ p :

tg ⁡ 2 θ p = γ x y ϵ x - ϵ y = ( - 825 × 10 - 6 ) 250 × 10 - 6 - ( - 450 × 10 - 6 ) = - 1,1786

2 θ p = - 49,6 °

O primeiro ângulo θ p 1 é dado pela metade de 2 θ p :

θ p 1 = - 24,8 °

E o outro ângulo θ p 2 é dado por:

θ p 2 = 90 ° - 24,8 ° = 65,2 °

Passo 3

Uma vez que temos o valor de θ p 1 , calculemos ϵ x ' :

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

Substituem-se os valores numéricos correspondentes:

ϵ x ' =   250 - 450 2 + 250 - ( - 450 )   2 ⋅ cos ⁡ - 2 24,8 ° + ( - 825 ) 2 ⋅ sen ⁡ ( - 2 ( 24,8 ° ) ) 10 - 6

ϵ x ' = 441 × 10 - 6

Passo 4

Agora, calcularemos a deformação por cisalhamento máxima no plano:

γ m á x , p l a n o 2 = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando por valores numéricos:

γ m á x , p l a n o 2 = 250 × 10 - 6 - - 450 × 10 - 6 2 2 + ( - 825 × 10 - 6 ) 2 2

γ m á x , p l a n o = 1082 × 10 - 6

Passo 5

E não vamos esquecer da deformação normal média, é claro:

ϵ m é d i a = ϵ x + ϵ y 2

Que é igual a:

ϵ m é d i a = 250 × 10 - 6 + - 450 × 10 - 6 2 = ( - 100 × 10 - 6 )

ϵ m é d i a = - 100 × 10 - 6

Passo 6

Calculando agora, a tangente de ( 2 θ s ) :

tg ⁡ 2 θ s = ϵ x - ϵ y γ x y = 250 × 10 - 6 - ( - 450 × 10 - 6 ) ( - 825 × 10 - 6 ) = 0,8485

θ s = 40,4 °

Como o primeiro ângulo θ s 1 é igual a θ s , tiramos que:

θ s 1 = 20,2 °

E o outro ângulo, desse modo, é igual a:

θ s 2 = 20,2 ° - 90 ° = - 69,8 °

Passo 7

Por fim, vamos calcular γ x ' y ' , cujo valor absoluto tem que dar igual à nossa γ m á x , p l a n o :

γ x ' y ' 2 = - ϵ x - ϵ y 2 ⋅ s e n 2 θ + γ x y 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

γ x ' y ' 2 = - 250 - - 450 2 ⋅ s e n 2 20,2 ° + - 825 2 cos ⁡ 2 20,2 ° ( 10 - 6 )

γ x ' y ' = - 1082 × 10 - 6  

E não é que deu certo!

Resposta

As deformações principais no plano são:

ϵ 1 = ( 441 × 10 - 6 )

ϵ 2 = ( - 641 × 10 - 6 )

A deformação por cisalhamento máximo é:

γ m á x , p l a n o = 1082 × 10 - 6  

E a deformação normal média:

ϵ m é d i a = ( - 100 × 10 - 6 )

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