Enunciado

11. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porca são ϵ x = ( 250 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 450 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 825 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações principais no plano e a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x - y .

Passo 1

Falaa! A gente precisa das deformações nos planos principais e no de cisalhamento máximo. Basicamente, vamos usar as fórmulinhas para essas grandezas e fazer um desenho com os nossos resultados, mostrando como o elemento está deformado.

Primeiro, calcularemos as deformações principais no plano:

ϵ 1,2 =   ϵ x + ϵ y 2 ± ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando os valores numéricos na fórmula:

ϵ 1,2 = 250 + - 450 2 ± 250 - - 450 2 2 + - 825 2 2 ( 10 - 6 )

ϵ 1,2 ≅ - 100 × 10 - 6 ± ( 540,977 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ - 100 × 10 - 6 + ( 540,977 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ ( 441 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ - 100 × 10 - 6 + ( 540,977 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ ( - 641 × 10 - 6 )

Passo 2

Calculando, em seguida, a tangente de 2 θ p :

tg ⁡ 2 θ p = γ x y ϵ x - ϵ y = ( - 825 × 10 - 6 ) 250 × 10 - 6 - ( - 450 × 10 - 6 ) = - 1,1786

2 θ p = - 49,6

θ p ≅ - 24,8 °

Como θ p 1 = θ p :

θ p 1 ≅ - 24,8 °

Essa é a direção de x ' . E o outro ângulo θ p 2 é dado por:

θ p 2 ≅ 90 ° - 24,8 ° = 65,2 °

Essa é a direção de y ' .

Passo 3

A gente tem as deformações e a orientação dos eixos principais. Mas que deformação está em cada eixo. ϵ 1 está relacionada ao eixo de x ' ou y ' ? Não sabemos! Por isso, precisamos calcular a deformação na orientação de x ' , para saber se é ϵ 1 ou ϵ 2 .

Calculando agora ϵ x '   dado que sabemos o valor de θ p 1 :

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

E substituindo os valores numéricos pertinentes, chega-se à:

ϵ x ' =     250 - 450 2 +   250 + 450 2 ⋅ cos ⁡ - 2 24,8 ° +   - 825 2 ⋅ sen ⁡ - 2 24,8 ° ( 10 - 6 )

ϵ x ' ≅ 441 × 10 - 6

Logo, temos que

ϵ 1 → x '

ϵ 2 = y '

Nosso elemento deformado fica:

Passo 4

Depois, calcularemos a deformação por cisalhamento máxima no plano:

γ m á x , p l a n o 2 = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando por valores numéricos:

γ m á x , p l a n o 2 = 250 × 10 - 6 - - 450 × 10 - 6 2 2 + ( - 825 × 10 - 6 ) 2 2

γ m á x , p l a n o ≅ 1082 × 10 - 6  

Passo 5

Precisamos também da deformação normal média, né! Pois vamos trata de encontrá-la:

ϵ m é d i a = ϵ x + ϵ y 2

Que é igual a:

ϵ m é d i a = 250 × 10 - 6 + - 450 × 10 - 6 2 = - 100 × 10 - 6

ϵ m é d i a ≅ - 100 × 10 - 6

Passo 6

Por último, calculemos a tangente de ( 2 θ s ) :

tg ⁡ 2 θ s = ϵ x - ϵ y γ x y = 250 × 10 - 6 - ( - 450 × 10 - 6 ) ( - 825 × 10 - 6 ) = 0,8485

2 θ s = 40,4 °

θ s = 20,2 °

Como θ s = θ s 1 :

θ s 1 ≅ 20,2 °

E o outro ângulo θ s , 2 , nós encontramos como:

θ s 2 ≅ 20,2 ° - 90 ° = - 69,8 °

Aqui o nosso elemento fica:

Repara que como ϵ m é d i a é negativa, nas direções normais, nosso elemento encurtou.

Resposta

As deformações principais no plano são:

ϵ 1 ≅ ( 441 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ ( - 641 × 10 - 6 )

A deformação por cisalhamento máximo é:

γ m á x , p l a n o ≅ ( 1082 × 10 - 6 )

E a deformação normal média:

ϵ m é d i a ≅ ( - 100 × 10 - 6 )

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