Enunciado

104. Um pequeno compressor de ar para a cabine de um avião é composto pela turbina A de 3,50   k g , que aciona o soprador B de 2,40   k g a uma velocidade de 20000   r p m . O eixo do conjunto está montado transversalmente a direção de vôo e é visualizado a partir da traseira da aeronave. Os raios de giração de A e de B são 79,0   m m e 71,0   m m , respectivamente. Calcule as forças radiais exercidas sobre o eixo pelos mancais em C e D , se a aeronave executa um rolamento no sentido horário (rotação em torno do eixo longitudinal de vôo) de 2   r a d / s visto da parte traseira da aeronave. Despreze os pequenos momentos provocados pelos pesos dos rotores. Desenhe um diagrama de corpo livre do eixo quando visto de cima e indique a forma da deflexão de sua linha de centro.

Passo 1

Primeiramente vamos fazer a representação esquemáticas das forças e momentos que estão agindo no nosso compressor, para isso tomando uma vista que seja mais apropriada para análise.

Passo 2

Bom! Agora vamos definir o quanto vale o nosso giro p . Olho lá, que a questão nos forneceu a velocidade em r p m . Para converter para r a d / s , basta dividir tudo por 60 e encontramos o que queremos:

p = 20000   r p m = 20000 ⋅ 2 π 60   r a d / s

p ≅ 2094,4   r a d s

Como já temos o valor da precessão, que é igual a 2   r a d / s , bora tratar de determinar o momento de inércia do noss sistema, que é composto pela turbina A e o soprador B . Para isso, basta multiplicar a massa m de cada um pelo seu respectivo raio de giração k ao quadrado:

I t o t a l = m a k a 2 + m b k b 2

I t o t a l = ( 3,50   k g ) ( 0,079   m ) 2 + ( 2,40   k g ) ( 0,071   m ) 2

I t o t a l = 0,0339   k g ⋅ m 2

Obtido, o momento de inércia I t o t a l , a velocidade de giro p e o valor da precessão , bora tratar de obter o momento através da fórmula que todo mundo já tá careca de saber:

M = I t o t a l ( p Ω )

M = 0,0339   k g ⋅ m 2 ⋅ 2094,4 r a d s ⋅ ( 2   r a d / s )

M = 142   N ⋅ m

E aí que vem a grande mágica da questão, porque esse momento M que acabamos de obter, na verdade é o momento oriundo da atuação das forças C e D , um binário de forças com uma distância de 0,15   m da linha de atuação de uma força pra outra. Logo, obtemos que:

0,15 m C = ( 0,15   m ) D = 142   N ⋅ m

C = D = 142   N ⋅ m 0,15   m

C = D ≅ 946,7   N

Passo 3

E aqui está o diagrama de corpo livre do eixo quando visto de cima com a respectiva forma da deflexão de sua linha de centro.

Resposta

  R e a ç õ e s   e m   C   e   D → C = D ≅ 946,7   N

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