Enunciado

10.5 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centroidais x e y .

Passo 1

Falaaa! A gente quer o momento de inércia em relação ao eixo x e ao eixo y . Essa seção é diferentona, mas a gente pode dividir em figuras mais simples para calcular o momento de inércia.

Vamos dividir essa área em 3 retângulos:

O momento de inércia total será a soma dos momentos de inercia desses três retângulos:

I y = I y 1 + I y 2 + I y 3

Repara que temos 2 retângulos iguais, esses em vermelho. Além de eles terem seus tamanhos iguais a distância de seus centroides até o eixo x é igual, por essa razão, só precisamos calcular o momento de inércia de um e multiplicar o resultado por 2.

I y = 2 I y 1 + I y 2

Sendo 1 o retângulo vermelho a direita e 2 o azul ao meio.

O momento de inercia de um retângulo, em relação ao eixo x , é igual a 1 12 b h 3 . Onde b é a dimensão do segmento do retângulo paralelo a x . E h é a dimensão do outro segmento do retângulo.

E como o centroide dos três retângulos passam pelo eixo x , não será necessário usar o teorema dos eixos paralelos. Aí ficamos assim:

I x = 2 1 12 b h 3 x 1 + 1 12 b h 3 x 2

Substituindo os dados que a gente tem na figura:

I x = 2 1 12 150 50 3 x 1 + 1 12 450 50 3 x 2

I x = 383 ⋅ 10 6   m m 4

Obs: o gabarito está com a resolução errada, porque ele esqueceu de usar esse dois ali na multiplicação, tá? Aqui estamos certinhos.

Passo 2

Da mesma forma que para o eixo x , o momento de inercia para o eixo y será a soma do momento de inercia dos três retângulos.

I y = I y 1 + I y 2 + I y 3

O momento de inercia de um retângulo, em relação ao eixo y , é igual a 1 12 h b 3 . Onde h é a dimensão do segmento do retângulo paralelo a y . E b é a dimensão do outro segmento do retângulo.

Como o centroide, do retângulo do meio, passa pelo eixo y , não será necessário usar o teorema dos eixos paralelos para esse retângulo, já para os outros dois sim:

I y = 1 12 h b 3 + A d 2 y 1 + 1 12 h b 3 y 2 + 1 12 h b 3 + A d 2 y 3

Mas aqui a gente pode usar a simeteria de novo, isso porque os retângulos vermelhos são iguas e têm a mesma distância dos seus centroides até o eixo y . Aí a gente calcula só o momento de um deles e multiplica por 2:

I y = 2 1 12 h b 3 + A d 2 y 1 + 1 12 h b 3 y 2

A é a área do retângulo e d é a distância do centroide do retângulo até o eixo y . Vamos calcular essas coisinhas!

Passo 3

Precisamos da área do retângulo que está na lateral, assim como a distância de seu centroide até o eixo y .

A 1 = b ⋅ h

A 1 = 150 50

A distância do centroide até o eixo y é:

d 1 = 50 2 + 150 2

d 1 = 100   m m

A equação va ficar assim:

I y = 2 ⋅ 1 12 50 150 3 + 150 50 100 2 + 1 12 450 ( 50 ) 3

I y = 18 3 ⋅ 10 6

Resposta

I x = 383 ⋅ 10 6   m m 4

I y = 18 3 ⋅ 10 6

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