Enunciado

10.8 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga T em relação ao eixo x ' passando pelo centroide da seção transversal.

Passo 1

Fala ai galerinha do RespondeAí, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício aqui, o enunciado quer que a gente encontre o momento de inércia da seção transversal de uma viga que passa pelo seu centróide, pra isso, podemos primeiro dividir a figura em duas partes, tal que:

Onde y - 1 e y - 2 são as componentes em y do centróide da figura 1 e da figura 2 respectivamente. Sendo assim, podemos calcular logo de cara, a componente y - do centróide da figura toda, onde o eixo x ' está passando, através da fórmula:

y - = ∑ y - A ∑ A

Isso quer dizer que seu centroide estará localizado em:

y - = y - 1 A 1 + y - 2 A 2 A 1 + A 2

Logo:

y - = 105 4500 + 15 4500 4500 + 4500

y - = 60   mm

Agora podemos ir calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa por esse centróide.

Passo 2

Show de bolinhas, agora pra gente calcular o momento de inércia da figura em relação ao centróide, podemos calcular o momento de inércia de cada figura separadamente e depois somar, ou seja, dado que I 1 x '   e I 2 x ' são os momentos de inércia de cada figura em relação ao eixo x ' , o momento total I x ' vai ser a soma dos dois:

I x ' = I 1 x ' + I 2 x '

Belezinha, então bora lá encontrar esses momentos de inércia de cada figura.

Para a primeira figura, teremos um retângulo em que o momento de inércia em relação ao seu próprio centróide, será tabelado e dado como:

I 1 = 1 12 b h 3

Onde b é a base do retângulo e h é a altura. MAAASSS, queremos o momento de inércia em relação ao eixo x ' e não em relação ao eixo que passa pelo centróide da figura 1 , então pra resolver isso podemos aplicar o teorema dos eixos paralelos, dado como:

I 1 x ' = I 1 + A 1 d y 2

Em que d y é distância entre os eixos, ou melhor, nesse caso é a distância entre os centróides:

d y = 105 - 60

Sendo assim:

I 1 x ' = 1 12 b h 3 + A 1 d y 2

I 1 x ' = 1 12 30 150 3 + 30 150 105 - 60 2

I 1 x ' = 17   550   000   m m 4

Iradoso, agora se a gente fizer o mesmo procedimento para a figura 2 , vamos obter que:

I 2 x ' = 1 12 b h 3 + A 2 d y 2

Onde d y vai ser dado como:

d y = 60 - 15

Segue que:

I 2 x ' = 1 12 150 30 3 + 150 30 60 - 15 2

I 2 x ' = 9   4 50   000   m m 4

Passo 3

Belezera, como descobrimos os valores dos dois momentos de inércia, podemos somar e encontrar o momento resultante em torno de x ' , dado como:

I x ' = I 1 x ' + I 2 x '

I x ' = 17   550   000   m m 4 + 9   450   000   m m 4

Portanto:

I x ' = 2 7   00 0   000   m m 4

I x ' = 27 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 27 10 6   m m 4

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