Enunciado

109. Cada uma das rodas idênticas tem uma massa de 4 k g e um raio de giração k z = 120 m m e está montada a uma haste horizontal A B presa à haste vertical em O . No caso (a), a a haste horizontal está fixada a uma luva em O , que é livre para girar em torno do eixo y vertical. No caso (b), a haste está presa a luva por um garfo articulado em torno do eixo x . Se aroda possui uma velocidade angular elevada p = 3600   r p m em torno de seu eixo z na posição mostrada, determine qualquer precessão que ocorra e o momento fletor M A na haste para cada caso. Despreze a pequena massa da haste e da conexão em O .

Passo 1

(a) Inicialmente, vamos fazer o esboço das forças e momentos atuantes no nosso sistema, para analisar como pede a questão, se há ou precessão. Segue abaixo, a nossa obra de arte para o primeiro caso:

E o que vem em seguida é moleza! Temos que nesse caso não irá ocorrer precessão, uma vez que a linha de atuação de nosso esforços é de 320   m m ,   que não corresponde a haste toda. Para encontrar o momento fletor correspondente M A basta fazer o somatório das forças na direção x igual a zero, que são o somatório dos momentos em que a linha de atuação está naquela distância de 320   m m , ou seja:

∑ M x = 0

M A - m g ⋅ 0,320   m = 0

M A = ( 4   k g ) ( 9,81 m / s 2 ) 0,320   m

M A ≅ 12,56   N ⋅ m

Passo 2

(b) E agora, façamos o esboço dos esforços atuantes para o segundo caso, em que a haste vai estar presa a luva por um garfo articulado em torno do eixo x . Vamos incluir no nosso desenho, o giro p e a representação da direção da precessão :

Nesse caso ocorre precessão uma vez que a linha de atuação de nossos esforços é toda distância de 400   m m . Com isso, bora fazer com que o somatório das forças na direção x , seja igual a zero. Só que dessa vez, a nossa distância para o cálculo do momento vai ser igual a b = 400   m m , ou seja:

∑ M x = 0

M x - m g ⋅ 0,40 0   m = 0

M x = ( 4   k g ) ( 9,81 m / s 2 ) 0,40 0   m

M x ≅ 15,696   N ⋅ m

E se temos o momento, não podemos esquecer que ele está relacionado ao momento de inércia e à precessão pela seguinte fórmula, considerando é claro que eles estão em direções ortogonais, de modo que nem precisamos fazer o produto vetorial:

M x = I z z Ω p

Olha só que beleza. A questão 7.109   já nos forneceu que o raio de giração k z é igual a 120   m m . Podemos reescrever a fórmula de M x então, como:

M x = m k z 2 Ω p

E como sabemos os valores numéricos:

m = 4 k g k z = 0,12   m M x ≅ 15,696   N ⋅ m p = 3600   r p m

Bora tratar de substituir na fórmula, pois tá na cara que é a precessão que iremos obter:

Ω = M x m k z 2 p

Ω = 15,696   N ⋅ m 4 k g 0,12   m 2 3600 ⋅ 2 π 60   r a d / s

Ω ≅ 0,723   r a d / s

Por fim, não podemos nos esquecer que a questão pede também o momento fletor na haste para essa caso! Para isso, vamos analisar o trecho O A da nosssa haste:

O momento fletor, que cuja notação é M A , através dessa bela imagem, tiramos que ele é dado por:

∑ M x = 0

M A - m g ⋅ 0,08 0   m = 0

M A = ( 4   k g ) ( 9,81 m / s 2 ) 0,08 0   m

M A ≅ 3,14   N ⋅ m

Resposta

(a)

M o m e n t o   F l e t o r → M A ≅ 12,56   N ⋅ m

(b)

M o m e n t o   F l e t o r → M B ≅ 3,14   N ⋅ m

Ω ≅ 0,723   r a d / s

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