Enunciado

114. O motor elétrico possui uma massa total de 10   k g e é apoiado pelos suportes de montagem A e B presos a plataforma giratória. A armadura do motor possui uma massa de 2,5   k g e um raio de giração de 35   m m e gira no sentido anti-horário a uma velocidade de 1725   r p m , quando visualizada de A   para B . A plataforma gira em torno de seu eixo vertical à taxa constante de 48   r p m   no sentido mostrado. Determine as componentes verticais das forças suportadas pelos suportes de montagem em A e B .

Passo 1

Primeiramente, vamos fazer o esboço das forças, momentos dentre outras grandezas como precessão e giro, que estão atuando no nosso sistema de análise, considerando motor elétrico e armadura:

Primeiro o desenho do motor:

Segundo, o desenho da armadura:

E em seguida, não podemos nos esquecer que a questão já nos fornce dois elementos que serão de extrema importância em nossa análise, a velocidade de giro p , de 1725   r p m e a precessão de 48   r p m . Como essas velocidades estão em r m p , vamos multiplica-las por ( 2 π / 60 ) para convertê-las para r a d / s :

p = 1725   r p m

p = 1725 ⋅ 2 π 60 r a d / s

p ≅ 180,6   r a d / s

Ω = 48   r p m

Ω = 48 ⋅ 2 π 60 r a d / s

Ω ≅ 5,03   r a d / s

Agora, vamos determinar aquela reação R , no esboço que fizemos do motor elétrico. Para isso façamos o somatório das forças na direção y igual a zero:

+ ↑ ∑ F y = 0

R + R - P = 0

R = P 2

Onde P é o peso do motor elétrico, que tem massa de 10   k g :

R = 10 g 2

R = ( 5   k g ) ( 9,81   m / s 2 )

R = 49,05   N

Passo 2

E como podemos ver na segunda figura que esboçamos, a da armadura, temos a presença do momento M , o que nos leva ao fato de que não podemos esquecer que ele está relacionado ao momento de inércia e à precessão pela seguinte fórmula, considerando é claro que eles estão em direções ortogonais, de modo que nem precisamos fazer o produto vetorial, uma vez que o seno do ângulo entre elas, de 90 ° , é igual a 1 :

M = I Ω p

Olha só que beleza. A questão já nos forneceu que o raio de giração k é igual a 35   m m . Podemos reescrever a fórmula de M então, como:

M = m a r m a d u r a k 2 Ω p

E como sabemos os valores numéricos:

m a r m a d u r a = 2,5   k g k = 0,035   m Ω ≅ 5,03   r a d / s p ≅ 180,6   r a d / s

Bora tratar de substituir isso na fórmula, pois tá na cara dado que o momento M   que iremos obter é dado por:

2 ∆ R ( 0,120   m ) = m k 2 Ω p

Se você perceber, ∆ R trata-se de um binário que está localizado a 120   m m da origem no nosso centro de análise, que é onde está o centro de gravidade, por isso a multiplição por 2 . Voltando ao que interesssa:

2 ∆ R ( 0,120   m ) = ( 2,5   k g ) 0,035   m 2 ( 5,03   r a d / s ) ( 180,6   r a d / s )

∆ R = 2,5   k g 0,035   m 2 5,03   r a d / s 180,6   r a d / s 2 ( 0,120   m )

∆ R ≅ 11,6   N

Passo 3

Por fim, como podemos ver na imagem que já temos, basta observar que uma força de reação é dada pela soma de R com ∆ R , enquanto a outra é dada pela subtração. Chamaremos essa forças de R 1 e R 2 :

R 1 = R + ∆ R

R 1 ≅ 49,05   N + 11,6   N

R 1 ≅ 60,65   N

R 2 = R + ∆ R

R 2 ≅ 49,05   N - 11,6   N

R 2 ≅ 37,45   N

Resposta

R 1 ≅ 60,65   N

R 2 ≅ 37,45   N

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