Enunciado

105. A caixa retangular de paredes finas com extremidades abertas, de seção transversal quadrada, está girando no espaço em torno de seu eixo longitudinal central como mostrado. Se o eixo sofre uma ligeira oscilação, para quais razões l / b o movimento será de precessão direta ou retrógrada?

Passo 1

Primeiramente vamos fazer a representação da caixa situado num espaço onde podemos definir três eixos ortogonais, de forma que possa auxiliar em nossos eventuais cálculos de momento de inércia.

Agora, chamando de m a massa pertencente a cada um dos quatros lados da nossa caixa retangular, bora tratar de determinar os momentos de inércia em relação aos eixos 1 e 2 , respectivamente, que são iguais na verdade, devido à equidistância entre os eixos e as faces da caixa.

I 1 = I 2 = 2 ⋅ 1 12 m l 2 + b 2 + 1 12 m l 2 + m b 2 2

I 1 = I 2 = m 3 ( 2 b 2 + l 2 )

E agora, bora tratar de determinar o momento de inércia em relação ao eixo 3 , que é dado por:

I 3 = 4 m 12 ⋅ b 2 + m b 2 2

I 3 = 4 3 m b 2

Agora, vamos fazer uma comparação entre os momentos de inércia em relação aos eixos 1 e 3 . O que precisaria acontecer para que eles fossem iguais?

I 1 = m 3 2 b 2 + l 2 = I 3 = 4 3 m b 2

m 3 2 b 2 + l 2 = 4 3 m b 2

2 b 2 + l 2 = 4 b 2

2 b 2 = l 2

l = 2 b

l b = 2

Passo 2

Para que os momentos de inércia em 1 , 2 e 3 sejam iguais, vimos que tem que ser satisfeita a seguinte condição:

l b = 2

Só que não é isso que queremos, pois a precessão ocorre justamente quando esses momentos de inércia divergem. E ela pode ser uma precessão direta se o momento de inércia inicial I 0 , que no caso é igual a I 1 , for maior que I 3 ; ou pode ser retrógrada, caso ocorra o contrário e I 1 for menor que I 3 . Logo da relação obtida no final do P a s s o   1 , obtemos que:

S e   l b > 2 → I 0 = I 1 > I 3   ( P r e c e s s ã o   d i r e t a )

S e   l b < 2 → I 0 = I 1 < I 3     ( P r e c e s s ã o   r e t r ó g r a d a )

Resposta

S e   l b > 2 → I 0 = I 1 > I 3   ( P r e c e s s ã o   d i r e t a )

S e   l b < 2 → I 0 = I 1 < I 3     ( P r e c e s s ã o   r e t r ó g r a d a )

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