Enunciado

119- Cada uma das estruturas mostradas nas figuras consiste em dois elementos em forma de L ligados por duas hastes rígidas. Para cada estrutura, determine as reações nos apoios e indique se a estrutura é rígida.

Passo 1

Os elementos representados em a , b e c podem ser separados pelos cabos de forma que temos o sistema de forças em A .

Onde o ângulo β formado entre as cordas tem os seguintes valores de seno e cosseno.

sin ⁡ β = a 4 a 2 + a 2 16 = a 4 17 a 2 16 = a 4 a 4 17 = 1 17

cos ⁡ β = a a 4 17 = 4 17

Fazendo a somatória dos momentos em B (considerando o sentido horário como positivo) na estrutura da direita nós temos:

F 2 cos ⁡ β × a + F 2 sin ⁡ β × 2 a + F 1 sin ⁡ β × 2 a = 0

F 2 4 17 + 2 F 2 1 17 + 2 F 1 17 = 0

6 F 2 = - 2 F 1

F 2 = - 1 3 F 1

Fazendo agora o momento em A pela estrutura a esquerda nós temos:

2 P a + F 1 sin ⁡ β × 2 a - F 2 cos ⁡ β × a + F 2 sin ⁡ α × 2 a = 0

2 P + 2 17 F 1 + F 2 2 17 - 4 17 = 0

2 P + 2 F 1 17 - 2 F 2 17 = 0

Substituindo a relação de F 2 com F 1 nós teremos:

2 P + 2 F 1 17 + 2 F 1 3 17 = 0

Isso nos dá:

8 F 1 3 17 = - 2 P

F 1 = - 6 17 P 8 = - 3 17 P 4

Isso nos dá uma força F 2 igual a:

F 2 = 17 P 4

Passo 2

Dessa forma pela somatória de todas as forças nós temos:

B x = - A x = F 1 + F 2 cos ⁡ β = - 2 17 P 4   4 17 = - 2 P

E somatória das forças verticais iguais a:

A y = P + F 1 sin ⁡ β + F 1 sin ⁡ β = P + - 2 17 P 4 1 17 = P - 1 2 P = 1 2 P

B y = - F 1 + F 2 sin ⁡ β = 2 17 P 4 1 17 = 1 2 P

Sistema rígido, pois conseguimos encontrar todas as forças sem nenhuma incongruência ou um P = 0 que desestabilizaria a estrutura.

Passo 3

Agora para a letra b .

Fazendo a somatória dos momentos em B ser zero na estrutura a direita dos cabos nós temos:

F 1 sin ⁡ β × 2 a - F 1 cos ⁡ β × a + F 2 sin ⁡ β × 2 a = 0

2 F 1 1 17 - F 1 4 17 + 2 F 2 1 17 = 0

2 F 2 = 2 F 1 → F 1 = F 2

Agora fazendo a somatória dos momentos em A na estrutura a esquerda dos cabos:

2 P a + F 1 sin ⁡ β × 2 a + F 2 sin ⁡ β × 2 a - F 2 cos ⁡ β × a = 0

2 P + 2 F 1 17 + 2 F 2 17 - 4 F 2 17 = 0

2 P + 4 17 F 1 - F 2 = 0

Só que como F 1 = F 2 , logo F 1 - F 2 = 0 o que nos dá em:

2 P = 0

O que nos dá em uma estrutura não rígida, uma vez que somente não existindo P para estrutura ficar no lugar.

Passo 4

O diagrama de forças para a letra c .

Mesmo procedimento, vamos fazer a somatória dos momentos em B .

- F 2 sin ⁡ β × 2 a - F 1 sin ⁡ β × 2 a - F 1 cos ⁡ β a = 0

- 2 F 2 17 = 6 F 1 17

- 3 F 1 = F 2

Agora a somatória dos momentos em A na estrutura a esquerda dos cabos nos dá:

2 a P - F 1 sin ⁡ β × 2 a - F 2 sin ⁡ β × 2 a - F 2 cos ⁡ β × a = 0

2 P = 2 F 1 17 + 6 F 2 17

Aplicando a substituição nós temos:

2 P = 2 F 1 17 - 18 F 1 17

2 P 17 - 16 = F 1 = - P 17 8

Logo F 2 dará:

F 2 = 3 P 17 8

Passo 5

Aplicando a somatória das forças nós temos:

B x = - A x = F 1 + F 2 cos ⁡ β = P 17 4 4 17 = P  

E a somatória das forças verticais nas duas estruturas nos dará:

B y = F 1 + F 2 sin ⁡ β = P 17 4 1 17 = P 4

A y = P - F 1 + F 2 sin ⁡ β = P - P 4 = 3 P 4

Como conseguimos encontrar todas as reações em relação a P sem problema algum e sem encontrar nada que dê P = 0 , logo a estrutura é rígida.

Resposta

a )   R í g i d o ; A = 2 P i + P 2 j   ; B = - 2 P i + 1 2 P

b )   N ã o   é   r í g i d a

c )   R í g i d a ; A = - P i + 3 P 4 j ; B = P i + P 4 j

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →