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Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 11.Problemas - Ex. 13

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13. Determine os ângulos θ para equilíbrio do disco de 20   N ( ≈ 2   k g ) usando o princípio do trabalho virtual. Despreze o peso da barra. A mola está livre quando θ = 0 ° e sempre permanece na vertical devido a guia do rolete.

Passo 1

Primeiro temos que considerar um deslocamento virtual positivo δ θ positivo, com esse deslocamento virtual, somente as forças W (força peso) e F k (força elástica) realizam trabalho, pois são as únicas que tem deslocamentos em suas direções devido ao deslocamento virtual.

Para resolvermos esse problema precisamos escrever F k , que é definida como:

F k = k x

Onde k é a constante elástica da mola e x o deslocamento da posição de relaxamento da mola até a posição atual. Então precisamos achar x , que é dado por:

x = 0,3 sin ⁡ θ

Que é o quando o comprimento da mola variou.

Logo:

F k = 1000 0,3 sin ⁡ θ = 300 sin ⁡ θ

Vamos adotar como referência para as distâncias o ponto B já que ele não varia com o deslocamento virtual.

A coordenada y C é a posição onde a força F k atua em C em relação ao ponto fixo B e a coordenada y A é a posição onde a força W atua em A em relação ao ponto fixo B . Agora vamos expressar essas posições em relação a θ .

y A = 0,9 s in ⁡ θ

y C = 0,3 s in ⁡ θ

Se derivarmos essas expressões obtemos os deslocamentos virtuais dos pontos B e C , da seguinte forma:

δ y A = 0,9 co s ⁡ θ   δ θ

δ y C = 0,3 co s ⁡ θ   δ θ

Passo 2

Agora vamos usar a equação do trabalho virtual para aí sim encontrarmos θ , então:

δ U = 0

- F k δ y C + W δ y A = 0

⇒ - 300 sin ⁡ θ 0,3 cos ⁡ θ   δ θ + 20 0,9 cos ⁡ θ   δ θ

⇒ δ θ - 90 s i n θ cos ⁡ θ + 18 co s ⁡ θ = 0

Como δ θ é diferente de zero:

- 90 s i n θ cos ⁡ θ + 18 cos ⁡ θ = 0

⇒ 18 - 90 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

Passo 3

A parti do resultado final que encontramos no passo 2 , podemos achar dois valores para θ . Isso vem de dois casos:

1 º caso:

cos ⁡ θ = 0

⇒ θ = 90 °

2 º caso:

18 - 90 sin ⁡ θ = 0

⇒ 90 sin ⁡ θ = 18

⇒ sin ⁡ θ = 0,2

⇒ θ = 11,5 °

Resposta

θ 1 = 90 °

θ 2 = 11,5 °

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