Enunciado

131. A montagem mostrada na figura consiste em uma barra A F de 80   m m que é soldada a uma cruz representada por quatro braços de 200   m m . A montagem é mantida por uma rótula em F e por três conexões curtas, cada qual formando um ângulo de 45 ° com a vertical. Para o carregamento mostrado, determine ( a ) a tração em cada conexão, ( b ) a reação a F .

Passo 1

Primeiramente, para determinar o que o enunciado quer, temos que saber quais são as possíveis reações que podem ocorrer em F .

Nessa situação com uma rótula segundo a figura 4.10 do livro temos três reações possíveis, uma força na direção x ( F x ) , uma força na direção y ( F y ) e uma força na direção z ( F z ) .

Para achar uma parte do que o enunciado pede, teremos que analisar a equação de equilíbrio referente ao momento, onde teremos que calcular os momentos na forma vetorial, pois vai facilitar a nossa análise.

Iremos calcular da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Então teremos o seguinte:

∑ M 0 → = 0

r B F → × T B → + r C F → × T C → + r D F → × T D → + r E F → × P → = 0

Nesse problema também teremos que usar a equação de equilíbrio referente a força na forma vetorial, da seguinte maneira:

∑ F → = 0

F → + T B → + T C → + T D → + P → = 0

Então precisamos expressar as forças de tração em sua forma vetorial, para termos as componentes de cada força em cada direção, mas ainda bem que o enunciado foi bonzinho e forneceu o ângulo que as forças de tração fazem com a vertical, assim fica fácil de decompor as forças.

Passo 2

Abrindo a equação presente no passo 1 referente ao momento, temos:

r B F → × T B → + r C F → × T C → + r D F → × T D → + r E F → × P → = 0

i j k 0 0,08 - 0,2 T B sin ⁡ 45 ° - T B cos ⁡ 45 ° 0 + i j k 0,2 0,08 0 0 - T C cos ⁡ 45 ° T C sin ⁡ 45 ° +

+ i j k 0 0,08 0,2 - T D sin ⁡ 45 ° - T D cos ⁡ 45 ° 0 + i j k - 0,2 0,08 0 0 - P 0 = 0

Sabendo que:

cos ⁡ 45 ° = sin ⁡ 45 ° = 2 2 = 1 2

Temos:

⇒ - 0,2 T B 1 2 i - 0,2 T B 1 2 j + - 0 , 0 8 T B 1 2 k

+ 0 , 08 T C 1 2 i - 0,2 T C 1 2 j + - 0,2 T C 1 2 k +

+ 0,2 T D 1 2 i - 0,2 T D 1 2 j + 0,08 T D 1 2 k + 0 i + 0 j + 0,2 P k = 0

Logo:

⇒ - 0,2 T B 1 2 + 0,08 T C 1 2 + 0,2 T D 1 2 i + - 0,2 T B 1 2 - 0,2 T C 1 2 - 0,2 T D 1 2 j +

+ - 0,08 T B 1 2 - 0,2 T C 1 2 + 0,08 T D 1 2 + 0,2 P k = 0

Então temos o seguinte:

- 0,2 T B 1 2 + 0,08 T C 1 2 + 0,2 T D 1 2 = 0

⇒ - 0,2 T B + 0,08 T C + 0,2 T D = 0

- 0,2 T B 1 2 - 0,2 T C 1 2 - 0,2 T D 1 2 = 0

⇒ - 0,2 T B - 0,2 T C - 0,2 T D = 0

- 0,08 T B 1 2 - 0,2 T C 1 2 + 0,08 T D 1 2 + 0,2 P

⇒ - 0,08 T B - 0,2 T C + 0,08 T D + 0,2 2 P = 0

Passo 3

Do passo anterior achamos o seguinte:

- 0,2 T B + 0,08 T C + 0,2 T D = 0       ( 1 )

- 0,2 T B - 0,2 T C - 0,2 T D = 0       ( 2 )

- 0,08 T B - 0,2 T C + 0,08 T D + 0,2 2 P = 0       ( 3 )

Se multiplicarmos a equação ( 2 ) por 0,08 0,2 :

- 0,08 T B - 0,08 T C - 0,08 T D = 0       ( 4 )

Agora fazendo 3 + 4 :

0,16 T B - 0,28 T C + 0,2 2 = 0       ( 5 )

Agora se fizermos 1 + 2 :

- 0,4 T B - 0,12 T C = 0

⇒ T B = - 0,3 T C       ( 6 )

Agora, substituindo a equação ( 6 ) na equação ( 5 ) :

0,16 - 0,3 T C - 0,28 T C + 0,2 2 = 0

⇒ - 0,048 T C - 0,28 T C + 0,2 2 = 0

⇒ - 0,232 T C = 0,2 2

⇒ T C = 1,2191 P

Substituindo esse resultado nas equações ( 6 ) e ( 2 ) , ficamos com:

T B = - 0,3 1,219 1 P = - 0,3657 P

- 0,2 - 0,3657 P - 0,2 1,2191 P - 0,2 T D = 0

⇒ T D = - 0,8534 P

Passo 4

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força, presente no passo 1 .

F → + T B → + T C → + T D → + P → = 0

F x i + F y j + F z k + - 0,3657 P 2 i - - 0,3657 P 2 j + 0 k + 0 i - 1,2191 P 2 j + 1,2191 P 2 k +

+ - - 0,8534 P 2 i - - 0,8534 P 2 j + 0 k + ( 0 i - P j + 0 k ) = 0

Então temos:

F x + - 0,3657 P 2 - - 0,8534 P 2 i + F y - - 0,3657 P 2 - 1,2191 P 2 - - 0,8534 P 2 - P j +

+ F z + 1,2191 P 2 k = 0

Com isso, chegamos ao seguinte sistema de equações:

F x + - 0,3657 P 2 - - 0,8534 P 2 = 0

F x = - 0,3448 P

F y - - 0,3657 P 2 - 1,2191 P 2 - - 0,8534 P 2 - P = 0

⇒ F y = P

F z + 1,2191 P 2 = 0

⇒ F z = - 0,8620 P

Resposta

( a )

T B = - 0,3657 P

T C = 1,2191 P

T D = - 0,8534 P

b

F x = - 0,3448 P

F y = P

F z = - 0,8620 P

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →