Enunciado

139- Faça um gráfico da força P necessária para mover o caixote de 100   k g para cima do plano com inclinação de 10 ° , a partir do repouso, para vários valores de x , desde zero até 10   m . Determine o menor valor possível de P e o valor correspondendte de x .

Passo 1

O peso do caixote é de:

W = 100 × 9.81 = 981   N

Logo podemos montar o seguinte diagrama de corpo livre.

Onde precisamos estipular um ângulo θ que é formado entre a força P e o bloco e uma força N normal que será responsável por surgir a força de atrito igual a 0.4 N . Os eixos y é normal ao plano.

Fazendo a somatória das forças em x ser zero, temos:

- 0.4 N - 981 sin ⁡ 10 + P c o s   θ = 0

P c o s   θ - 0.4 N = 981 sin ⁡ 10       ( 1 )

Agora fazendo a somatória das forças em y ser zero nós teremos:

- 981 cos ⁡ 10 + N + P s i n   θ = 0

P s i n   θ + N = 981 cos ⁡ 10         ( 2 )

Multiplicando a equação ( 2 ) por 0.4 e somando com a expressão 1 nós iremos encontrar.

P ( cos ⁡ θ + 0.4 sin ⁡ θ ) = 981 ( s i n   10 + 0.4 cos ⁡ 10 )

P = 981 ( sin ⁡ 10 + 0.4 cos ⁡ 10 ) cos ⁡ θ + 0.4 sin ⁡ θ = 556.79 cos ⁡ θ + 0.4 sin ⁡ θ

Passo 2

Agora para encontrar o menos valor possível de P no intervalo dado basta derivar a equação de P que encontramos e igualar ela a zero.

Pela regra do quociente.

d P d θ = 556.79 × 0 - ( cos ⁡ θ + 0.4 sin ⁡ θ ) ' ( cos ⁡ θ + 0.4 sin ⁡ θ ) 2 = 556.79 ( sin ⁡ θ - 0.4 cos ⁡ θ )   ( cos ⁡ θ + 0.4 sin ⁡ θ ) 2

Para essa equação ser zero a parcela sin ⁡ θ - 0.4 cos ⁡ θ   precisa ser zero.

sin ⁡ θ - 0.4 cos ⁡ θ = 0

s i n θ = 0.4 cos ⁡ θ

t g θ = 0.4 → θ = 21.8 °

Esse ângulo nos dá uma força P igual a:

P = 556.79 cos ⁡ 21.8 + 0.4 sin ⁡ 21.8 ≈ 517   N

Passo 3

Para encontrarmos o valor de x nós devemos usar o triângulo retângulo abaixo:

Fazendo a tangente de θ nós teremos:

t g θ = 3 x

x = 3 t g   θ

Como encontramos t g   θ = 0.4 para a menor força P , nós teremos uma distância x em:

x = 3 0.4 = 7.5   m

Resposta

x = 7.5   m

P = 517   N

Gráfico de P em relação a x :

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