Enunciado

138- O semicilindro com massa específica uniforme se apóia sobre uma superfície horizontal e está sujeito a uma força P aplicada como mostrado. Se P aumenta lentamente e é mantida normal a superfície plana, faça um gráfico do ângulo de inclinação θ em função de P até o ponto de deslizamento. Determine o ângulo θ m a x e o valor correspondente P m a x para os quais o deslizamento ocorre. O coeficiente de atrito estativo vale 0.35 .

Passo 1

Considerando o peso do semicilindro como m g nós teremos o seguinte sistema de forças:

Com a força P apontando para a direção dada, isso faz com que o corpo tenda a rodar no sentido anti-horário logo surge uma força de contato N a com o chão e uma força de atrito contra o movimento do corpo e tangente ao chão, isso é da direita para a esquerda com valor de:

F a t = 0.35 N a

Uma vez que o atrito com o chão vale 0.35

Passo 2

Fazendo então a somatória das forças horizontais nós teremos:

P s i n   θ - 0.35 N a = 0

N a = P s i n   θ 0.35

Agora para a somatória das forças verticais nós teremos:

- m g - P c o s   θ + N a = 0

N a = m g + P c o s   θ

Juntando essas duas equações nós conseguimos encontrar.

P s i n   θ = 0.35 m g + 0.35 P c o s   θ

P = 0.35 m g sin ⁡ θ - 0.35 c o s   θ

Passo 3

Para saber o ângulo de deslizamento precisamos fazer o momento em algum ponto da figura, para isso vamos utilizar o ponto geométrico da figura.

O valor de v na figura vai ser importante para conseguirmos o valor de momento causado pela força de atrito no centro de gravidade e a distância s para o momento causado por N a , de forma que:

cos ⁡ θ = v r - → v = r - cos ⁡ θ

sin ⁡ θ = s r - → s = r - sin ⁡ θ

Logo o momento em G   será (considerando o sentido horário como positivo):

- P r + 0.35 N a × r - r - c o s θ + N a × ( r - sin ⁡ θ ) = 0

Para um semicírculo a distância r - vale:

r - = 4 r 3 π

Cortando r na equação temos:

- P + 0.35 N a 1 - 4 3 π c o s θ + N a 4 sin ⁡ θ 3 π = 0

Como temos os valores de P e N a em função de θ nós teremos o seguinte gráfico para essa equação:

Teremos o valor de θ m a x = 41.67 °

E para esse valor temos P = 0.856 m g

Resposta

P = 0 . 856 m g

θ m a x = 41.67 °

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