Enunciado

140. O tubo A C D E é suportado por rótulas em A e E e pelo arame D F . Determine a tração no arame quando a carga de 640   N é aplicada em B como mostrado na figura.

Passo 1

Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação A E , utilizando esse eixo as forças que atuam em A e E não exercem momento nesse eixo de rotação, então:

u A E → = r A E → r A E →

Onde r A E → é o vetor que sai do ponto A até o ponto E . Assim:

r A E → = { 0,48 i + 0 , 16 j - 0 , 24 k }

r A E → = 0,48 2 + 0 , 16 2 + - 0 , 24 2

= 0 , 3136

= 0,5 6

Logo:

u A E → = { 0,48 i + 0,16 j - 0,24 k } 0,5 6

= { 0 , 857 i + 0 , 285 j - 0 , 428 k }

Também precisamos expressar a força de tração em sua forma vetorial, para termos as componentes de cada força em cada direção, para isso precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção que a força de tração.

Esse vetor pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de D F é:

u D F → = - 0,4 8 i + 0 , 33 j - 0 , 2 4 k 0 , 63

u D F → = { - 0 , 761 i + 0 , 523 j - 0 , 380 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração do cabo C E :

T D F → = T D F u D F →

= - 0,761 T D F i + 0,523 T D F j - 0,380 T D F k

Passo 2

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento:

∑ M A E → = 0

u A E → ⋅ ( r A D → × T D F → ) + u A E → ⋅ ( r A B → × ( 0 i - 64 0 j + 0 k ) ) = 0

⇒ 0,857 0,285 - 0,428 0 , 48 0 , 16 0 - 0,761 T D F 0,523 T D F - 0,380 T D F + 0,857 0,285 - 0,428 0,2 0 0 0 - 640 0 = 0

Abrindo essa conta, temos:

⇒ 0,857 - 0 , 060 T D F - 0 , 285 - 0 , 182 T D E - 0 , 428 0,372 T D F +

+ 0,857 ( 0 ) - 0,285 0 - 0,428 - 128 = 0

⇒ - 0 , 158 T D F + 54,784 = 0

⇒ T D F = 3 46 , 73   N

Resposta

T D F = 346,73   N

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →