Enunciado

143- Refira-se ao P r o b .   6 / 142 onde a massa da barra uniforme vale 3   k g , L = 2   m e R = 1.2   m . Conforme a força P é aumentada, o ângulo de equilíbrio θ também aumenta, desde que não ocorra deslizamento. O valor limite θ é atingido quando R θ = L / 2 , onde θ está em radianos. Para valores de θ entre zero e L / ( 2 R ) , faça gráficos do valor de equilíbrios de P , da força de contato normal N , e do valor mínimo μ s do coeficiente de atrito estático que impede que ocorra deslizamento naquele ângulo. Identifique o ângulo θ c r no qual μ s atinge seu valor máximo.

Passo 1

Valores:

L = 2   m

m = 3   k g

R = 1.2   m

Gráfico com θ indo de zero até L 2 R = 2 2.4 = 0.8333   r a d = 47.75   g r a u s

Passo 2

Da questão passada encontramos as seguintes equações:

P = m g sin ⁡ θ μ s - m g cos ⁡ θ = 29.43 sin ⁡ θ μ s - 29.43 cos ⁡ θ

N = m g sin ⁡ θ μ s = 29.43 sin ⁡ θ μ s

Pois agora μ s varia e não tem o valor fixo de 0.15 .

Passo 3

Temos também a equação da somatória dos momentos no ponto de contato que nos dá:

m g R θ cos ⁡ θ = P L 2 - R θ

Isolando P e substituindo os valores:

35.316 θ cos ⁡ θ = P ( 1 - 1.2 θ )

P = 35.316 θ cos ⁡ θ 1 - 1.2 θ

Podemos a partir dessa equação encontrar a expressão de N , pois da equação de P no passo 2 temos que:

P = N - 29.43 cos ⁡ θ

Logo:

N = 35.316 θ cos ⁡ θ 1 - 1.2 θ + 29.43 cos ⁡ θ = 29.43 cos ⁡ θ 1 - 1.2 θ

Agora podemos ter a equação de μ s ao igualar essa última de N com a equação de N no segundo passo:

29.43 cos ⁡ θ 1 - 1.2 θ = 29.43 sin ⁡ θ μ s

μ s = 1 - 1.2 θ t g   θ

Passo 4

Plotando os gráficos em radianos no intervalo estabelecido temos:

Gráfico de μ s :

Onde encontramos os valor máximo de μ igual a 0.222 no ângulo de 0.445   r a d ou 25.5 °

Agora os gráficos de P e N .

Onde a curva azul é relativa a N e a verde a P .

Resposta

μ m a x = 0.222     e m   θ = 25.5 °

Gráficos do passo 4.

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