Enunciado

14.43. Um bloco B de 20 kg é suspenso por uma corda de 2 m fixada em um carrinho A de 30 kg, que pode rolar livremente sem atrito no caminho horizontal. Se o sistema é liberado do repouso na posição mostrada na figura, determine as velocidades de A e B quando B passa diretamente embaixo de A.

Passo 1

Vamos para mais uma questão!

Já de começo a gente pode dizer que o momento linear inicial do sistema é nulo, olha só, o sistema e liberado do repouso, o que significa que no começo do movimento o sistema estava em repouso, o que significa que a velocidade era nula, logo o momento linear também é nulo.

∑ L i = 0

Mas sabemos que o momento linear é conservado nesse movimento, então

∑ L i = ∑ L f

O que significa

0 = m A v A + m B v B

A gente pode usar esse resultado para isolar v A

v A = - m B m A v B

Passo 2

Mas ainda não respondemos nada. Vamos continuar o problema usando outra lei de conservação, a conservação de energia. No inicio do movimento a energia cinética é nula, mas atenção, esse sistema não possui somente energia cinética, também existe uma energia potencial associada a gravidade, nós poderíamos dizer que a energia potencial é nula no inicio do movimento também, mas é mais simples resolver o exercício se a energia cinética for nula no ponto mais baixo do bloco.

Vamos olhar direitinho como a gente define essa energia potencial. A equação para essa energia é V = m g h .

Pela imagem a gente consegue ver melhor como calcular a altura h do bloco.

T 0 = 0

E

V 0 = m B g L ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora vamos usar a equação da conservação de energia.

∑ T i + V i = ∑ T f + V f

Então

0 + m B g L ( 1 - cos ⁡ θ ) = 1 2 m A 2 v A 2 + 1 2 m B v B 2 + 0

Olha só, a energia potencial assim que o bloco B está embaixo do carro A, a energia potencial é 0, como já definimos.

m B g L ( 1 - cos ⁡ θ ) = 1 2 m A 2 v A 2 + 1 2 m B v B 2

Passo 4

Vamos substituir v A nessa equação

m B g L ( 1 - cos ⁡ θ ) = 1 2 m A v A 2 + 1 2 m B v B 2

m B g L ( 1 - cos ⁡ θ ) = 1 2 m A - m B m A v B 2 + 1 2 m B v B 2

Então isso vai ficar

m B g L 1 - cos ⁡ θ = 1 2 m B 2 m A v B 2   + 1 2 m B v B 2

Vamos multiplicar a equação por 2 , e por v B em evidencia

2 m B g L 1 - cos ⁡ θ = m B 2 m A   + m B v B 2

Agora podemos achar uma equação para v B

v B = 2 m B g L 1 - cos ⁡ θ m B 2 m A   + m B

Passo 5

Agora que temos a equação, é só substituir os valores, é só olhar o desenho da questão

v B = 2 m B g L 1 - cos ⁡ θ m B 2 m A   + m B

v B = 2 20 9,81 2 1 - cos ⁡ 25 ° 20 2 ( 30 )   + ( 20 ) = 1,485 m s

E agora podemos descobrir o valor de v A

v A = - m B m A v B

A gente deduziu essa equação lá no comecinho, lembra?

v A = - 20 30 1,485 = - 1 m s

Resposta

v A = - 1   m s   v B = 1,485 m s

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