Enunciado

15.143. Um disco de raio r rola para a direita com uma velocidade constante v. Representando por P o ponto do aro em contato com o solo em t 0, deduza expressões para os componentes horizontal e vertical da velocidade do ponto P em um instante qualquer t.

Passo 1

Vamos começar mais uma! Temos uma situação mais ou menos assim:

E aí podemos fazer

x A = r θ

E

y A = r

Dessas equações podemos fazer

x A r = r θ r

Que nos dá

θ = x A r

Passo 2

Beleza, agora podemos usar o método da seção 15.9

x P = x A - r s i n s i n   θ  

Isso fica

x P = r θ - r s i n s i n   θ  

E

y P = y A - r c o s c o s   θ  

Isso fica

y P = r - r c o s   θ

Naturalmente temos

x A ˙ = v

y A ˙ = 0 ,   j á   q u e   r   n ã o   d e p e n d e   d o   t e m p o .

E

θ ˙ = x A ˙ r = v r

Passo 3

Usando a função horaria, podemos afirmar também que

x A = v t

E logo

θ = v t r

Agora vamos fazer

x P ˙ = d d t r θ - r s i n s i n   θ  

Isso fica

x P ˙ = r θ ˙ - r θ ˙ c o s c o s   θ  

Substituindo os valores de θ e θ ˙

x P ˙ = r v r - r v r c o s c o s   v t r  

Podemos cortar r

x P ˙ = v - v c o s c o s   v t r  

Isso fica

x P ˙ = 1 1 - c o s c o s   v t r   = v x

E com o mesmo raciocínio

y P ˙ = d d t r - r c o s   θ

Isso fica

y P ˙ = 0 - r θ ˙ - s i n s i n   θ  

Substituindo os valores

y P ˙ = r v r s i n s i n   v t r  

Isso fica

y P ˙ = v s i n s i n   v t r   = v y

Resposta

v x = 1 1 - c o s c o s   v t r  

v y = v s i n s i n   v t r  

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