Enunciado

Um disco com raio de 120   m m gira à taxa constante ω 2 = 5   r a d / s em relação ao braço A B , que, por sua vez, gira à taxa constante ω 1 = 3   r a d / s . Para a posição mostrada na figura, determine a velocidade e a aceleração do ponto D .

Passo 1

Oi pessoal... O exercício nos pede para determinar a velocidade e a aceleração do ponto D quando ω 2 = 5   r a d / s e ω 1 = 3   r a d / s .

Como estamos trabalhando com um sistema de 3 eixos, vamos fazer o estudo na forma vetorial. Portanto:

ω 2 = ( 5   r a d / s ) k

ω 1 = ( 3   r a d / s ) j

A velocidade escalar do ponto D será:

v D = v D / A + v D / B

Sabendo que:

v D / A = ω 1 × r D / A

v D / B = ω 2 × r D / B

Vamos aos cálculos.

Passo 2

Temos os seguintes vetores posições de D com relação a A e B , respectivamente:

r D / A = 75   m m i - 260   m m j

r D / B = - 120   m m j

Portanto:

v D / A = ω 1 × r D / A

v D / A = ( 3   r a d / s ) j × 75   m m i - 260   m m j

v D / A = - ( 225   m m / s ) k

E:

v D / B = ω 2 × r D / B

v D / B = ( 5   r a d / s ) k × - 120   m m j

v D / B = ( 600   m m / s ) i

Logo, a velocidade escalar do ponto D será:

v D = v D / A + v D / B

v D = - ( 225   m m / s ) k + ( 600   m m / s ) i

Ou:

v D = ( 0,6   m / s ) i - ( 0 , 225   m / s ) k

Passo 3

Para a aceleração do ponto D , temos que:

a D = a D / A + a D / B + a B

Temos que:

a D / A = Ω × v D / A

a B = 2 Ω × v D / B

a D / B = ω 2 × v D / B

Sabendo que Ω = ω 1 , temos que:

a D / A = ( 3   r a d / s ) j × - ( 0,225   m / s ) k

a D / A = - ( 0,675   m / s 2 ) i

Temos também que:

a D / B = ( 5   r a d / s ) k × ( 0,6   m / s ) i

a D / B = ( 3   m / s 2 ) j

E:

a B = 2 ( 3   r a d / s ) j × ( 0,6   m / s ) i

a B = - ( 3 , 6   m / s ) k

Portanto:

a D = a D / A + a D / B + a B

a D = - ( 0,675   m / s 2 ) i + ( 3   m / s 2 ) j - ( 3,6   m / s ) k

Resposta

v D = ( 0,6   m / s ) i - ( 0 , 225   m / s ) k

a D = - ( 0,675   m / s 2 ) i + ( 3   m / s 2 ) j - ( 3,6   m / s ) k

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