Enunciado

15.219. Mecanismo do Problema 15.207.

Passo 1

No problema 15.207 a gente tem um sistema mais ou menos assim:

E o colar B se aproxima do ponto D a uma velocidade de 50 (m m)/(s) .

Nesse problema estamos interessados no colar A .

Passo 2

Vamos começar reunindo informações, primeiro vamos determinar o vetor distância de cada ponto:

vec r_A = y hat j vec r_D = (90 hat i) m m vec r_C = (180 hat k) m m

Com essas informações a gente pode determinar vec r_A B , que vai ser importante, mas primeiro vamos ter que calcular várias outras posições, vamos lá!

Podemos começar com:

vec r_D C = vec r_D - vec r_C = (90 hat i - 180 hat k) m m

Então

|vec r_D C| = r_D C = sqrt((90^2) + (- 180^2)) = 201,246 m m

Esse resultado vai ajudar a gente a calcular outra distância:

vec r_B C = (120 (vec r_D C))/(180) = (120)/(180) (90 hat i - 180 hat k) = (6 0 hat i - 120 hat k) m m

E agora a gente vai calcular outra distância:

vec r_B = vec r_C + vec r_B C = [(180 hat k)] + [(60 hat i - 120 hat k)]

Então

vec r_B = (60 hat i + 6 0 hat k) m m

A gente está quase chegando no que a gente quer

vec r_A B = vec r_A - vec r_B = [(y hat j) - (6 0 hat i + 6 0 hat k)]

Então

vec r_A B = (6 0 hat i + y hat j - 6 0 hat k) m m

Passo 3

A gente calculou vec r_A B porque a gente já sabe o valor do módulo desse vetor. Lá no enunciado do problema 15.207 a gente descobre que r_A B = 300 m m , então a gente tem tudo para determinar o valor de y .

300^2 = (- 6 0)^2 + y^2 + (- 6 0)^2

Vamos resolver para y .

y = sqrt(300^2 - (- 6 0)^2 - (6 0)^2) = 2 87,75 m m

E agora a gente pode continuar procurando a aceleração de A em paz, porque agora temos uma informação poderosa:

vec r_A B = (- 6 0 hat i + 28 7,75 hat j - 60 hat k) m m

Passo 4

E agora que calculamos todas as posições que precisamos, vamos calcular todas as velocidades que precisamos, começando com:

vec v_B = v_B (vec r_D C)/(|vec r_C D|)

A gente já sabe todos esses valores, é só substituir

vec v_B = (50) ((90 hat i - 180 hat k))/(20 1 , 246) = (22,3607 hat i - 44,7214 hat k) (m m)/(s)

E agora vamos calcular a velocidade no colar A. Sabemos:

vec v_A = v_A hat j

E também que

vec v_A = vec v_B + vec v_A B

Opa... a gente ainda não sabe vec v_A B . Mas olha só que coisa interessante! vec v_A B são perpendiculares a vec r_A B , ou seja:

vec v_A B * vec v_A B = 0

Então se fizermos

vec r_A B * vec v_A = vec r_A B * (vec v_B + vec v_A B)

A gente chega em

vec r_A B * vec v_A = vec r_A B * vec v_B + vec r_A B * vec v_A B

Mas como

vec v_A B * vec v_A B = 0

Então

vec r_A B * vec v_A = vec r_A B * vec v_B

A gente sabe que vec v_A só tem componente em hat j , então:

(- 6 0 hat i + 28 7,75 hat j - 6 0 hat k) v_A = (- 60 hat i + 287,75 hat j - 60 hat k) * (22,3607 hat i - 44,7214 hat k)

E daqui temos que

280 v_A = (- 6 0) (22,3607) + ( - 6 0 ) ( - 44,7214 )

Logo

v_A = 4,6626 (m m)/(s)

Isso significa que

vec v_A = (4,6626 hat j) (m m)/(s)

E com isso podemos calcular uma velocidade interessantíssima para nós:

vec v_A B = vec v_A - vec v_B

vec v_A B = (4,6626 hat j) - (22,3607 hat i - 44,7214 hat k)

Isso fica

vec v_A B = (- 22,3607 hat i + 4,6626 hat j + 44,7214 hat k)

Passo 5

Finalmente vamos chegar ao ponto do problema, a aceleração. Bom, podemos dizer que

vec a_B = 0

E que

vec a_A = a_A hat j

Para calcular vec a_A podemos usar a relação:

vec a_A = vec a_B + vec a_A B

Sabemos que vec a_B = 0 , então vamos nos concentrar em vec a_A B .

vec a_A B = (alpha_A B xx vec r_A b) + (vec omega xx vec v_A B)

O truque aqui é enxergar dois vetores paralelos, que nesse caso são (alpha_A B xx vec r_A B) e vec r_A B , então

alpha_A B xx vec r_A B * vec r_A B = 0

Então, usando a relação

vec r_A B * alpha_A B xx vec v_A B = vec v_A B * vec r_A B xx vec omega_A B

Vamos chegar em

vec r_A B * vec alpha_A B = - vec v_A B * vec v_A B

Então se fizermos

vec r_A B * vec a_A = vec r_A B * (vec a_A + vec a_A B)

Então teremos

vec r_A B * vec a_A = vec r_A B * vec a_A + vec r_A B * vec a_A B

E aí vamos chegar numa equação final:

vec r_A B * vec a_A = vec r_A B * vec a_A - vec v_A B * vec v_A B

Então temos

(- 6 0 hat i + 280 7,75 hat j - 6 0 hat k) (a_A hat j) = 0 - (- 22,3607 + 4,6626 + 44,7214)^2

Então

a_A hat j = - (2521,7)/(2 87,75) = - 8,764 (m m)/(s)

Então a resposta do problema é

vec a_A = (- 8,76 hat j) (m m)/(s)

Resposta

vec a_A = (- 8,76 hat j) (m m)/(s)

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