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15.222. Para o mecanismo do problema indicado nas figuras, determine a aceleração do colar A.

Mecanismo do Problema 15.206.

Passo 1

No problema 15.206 a gente tem um sistema mais ou menos assim:

E o colar B se aproxima do ponto D a uma velocidade de 50 m m s .

Nesse problema estamos interessados no colar A .

Passo 2

Vamos começar reunindo informações, primeiro vamos determinar o vetor distância de cada ponto:

r → A = y   j ^ r → D = 90   i ^   m m r → C = 180   k ^ m m

Com essas informações a gente pode determinar r → A B , que vai ser importante, mas primeiro vamos ter que calcular várias outras posições, vamos lá!

Podemos começar com:

r → D C = r → D - r → C = 90   i ^ - 180   k ^   m m

Então

r → D C = r D C = 90 2 + - 180 2 = 201,246   m m

Esse resultado vai ajudar a gente a calcular outra distância:

r → B C = 80 r → D C 180 = 80 180 90   i ^ - 180   k ^ = 40   i ^ - 80   k ^   m m

E agora a gente vai calcular outra distância:

r → B = r → C + r → B C = 180   k ^ + 40   i ^ - 80   k ^

Então

r → B = 40   i ^ + 100   k ^   m m

A gente está quase chegando no que a gente quer

r → A B = r → A - r → B = y   j ^ + 40   i ^ + 100   k ^  

Então

r → A B = - 40   i ^ + y   j ^ - 100   k ^   m m

Passo 3

A gente calculou r → A B porque a gente já sabe o valor do módulo desse vetor. Lá no enunciado do problema 15.206 a gente descobre que r A B = 300   m m , então a gente tem tudo para determinar o valor de y .

300 2 = - 40 2 + y 2 + - 100 2

Vamos resolver para y .

y = 300 2 - - 40 2 - 100 2 = 280   m m

E agora a gente pode continuar procurando a aceleração de A em paz, porque agora temos uma informação poderosa:

r → A B = - 40   i ^ + 280   j ^ - 100   k ^   m m

Passo 4

E agora que calculamos todas as posições que precisamos, vamos calcular todas as velocidades que precisamos, começando com:

v → B = v B r → D C r → C D

A gente já sabe todos esses valores, é só substituir

v → B = 50 90   i ^ - 180   k ^ 202,246 = 22,3607   i ^ - 44,7214   k ^ m m s

E agora vamos calcular a velocidade no colar A. Sabemos:

v → A = v A   j ^

E também que

v → A = v → B + v → A B

Opa... a gente ainda não sabe v → A B . Mas olha só que coisa interessante! v → A B são perpendiculares a r → A B , ou seja:

v → A B ⋅ v → A B = 0

Então se fizermos

r → A B ⋅ v → A = r → A B ⋅ v → B + v → A B

A gente chega em

r → A B ⋅ v → A = r → A B ⋅ v → B + r → A B ⋅ v → A B

Mas como

v → A B ⋅ v → A B = 0

Então

r → A B ⋅ v → A = r → A B ⋅ v → B

A gente sabe que v → A só tem componente em j ^ , então:

- 40   i ^ + 280   j ^ - 100   k ^ v A = - 40   i ^ + 280   j ^ - 100   k ^ ⋅ 22,3607   i ^ - 44,7214   k ^

E daqui temos que

280 v A = - 40 22,3607 + ( - 100 ) ( - 44,7214 )

Logo

v A = 12,7775 m m s

Isso significa que

v → A = 12,7775   j ^ m m s

E com isso podemos calcular uma velocidade interessantíssima para nós:

v → A B = v → A - v → B

v → A B = 12,7775   j ^ - 22,3607   i ^ - 44,7214   k ^

Isso fica

v → A B = - 22,3607   i ^ + 12,7775 + 44,7214   k ^

Passo 5

Finalmente vamos chegar ao ponto do problema, a aceleração. Bom, podemos dizer que

a → B = 0

E que

a → A = a A   j ^

Para calcular a → A podemos usar a relação:

a → A = a → B + a → A B

Sabemos que a → B = 0 , então vamos nos concentrar em a → A B .

a → A B = α A B × r → A b + ω → × v → A B  

O truque aqui é enxergar dois vetores paralelos, que nesse caso são α A B × r → A B e r → A B , então

α A B × r → A B ⋅ r → A B = 0

Então, usando a relação

r → A B ⋅ α A B × v → A B = v → A B ⋅ r → A B × ω → A B

Vamos chegar em

r → A B ⋅ α → A B = - v → A B ⋅ v → A B

Então se fizermos

r → A B ⋅ a → A = r → A B ⋅ a → A + a → A B

Então teremos

r → A B ⋅ a → A = r → A B ⋅ a → A + r → A B ⋅ a → A B

E aí vamos chegar numa equação final:

r → A B ⋅ a → A = r → A B ⋅ a → A - v → A B ⋅ v → A B

Então temos

- 40   i ^ + 280   j ^ - 100   k ^ a A j ^ = 0 - - 22,3607   + 12,7775 + 44,7214 2

Então

a A j ^ = - 2663,3 280 = - 9,512 m m s

Então a resposta do problema é

a → A = - 9,512   j ^ m m s

Resposta

a → A = - 9,512   j ^ m m s

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