Enunciado

16- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada.

Passo 1

Primeiramente o valor de k no ponto ( b , b ) será:

b = k b 2 → k = 1 b

Agora se fizermos várias linhas verticais a fim de determinar a área dessa região nós encontraremos um comprimento de::

L = b - x 2 b

Como seu comprimento é de d x , logo sua área será de:

d A = b - x 2 b d x

Como o intervalo varia de 0 até b, logo a área será de:

A = ∫ 0 b b - x 2 b d x = b x - x 3 3 b 0 b = b 2 - b 3 3 b = b 2 - b 2 3 = 2 b 2 3

Passo 2

Por termos analisado a sua linha vertical logo x m será de:

x m = x

Então sua integral será:

∫ x m   d A = ∫ 0 b x b - x 2 b d x = ∫ 0 b b x - x 3 b = b x 2 2 - x 4 4 b 0 b = b 3 2 - b 4 4 b = b 3 4

Logo temos um valor de x - igual a:

x - = ∫ x m d A ∫ d A = b 3 4 2 b 2 3 = 3 b 8

Passo 3

O y médio y m   por outro lado será a média aritmética das duas funções e será:

y m = b + x 2 b 2

Logo:

∫ y m d A = ∫ 0 b 1 2 b + x 2 b b - x 2 b d A = 1 2 ∫ 0 b b 2 - x 4 b 2 d x

Aplicando o intervalo:

1 2 b 2 x - x 5 5 b 2 0 b = 1 2 b 3 - b 3 5

∫ y m d A = 2 b 3 5

Logo y - será de:

y - = 2 b 3 5 2 b 2 3 = 3 b 5

Resposta

x - , y - = 3 b 8 , 3 b 5

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