Enunciado

163. Cada uma das barras uniformes O A e O B possui uma massa de 2   k g e é articulada livremente em O ao eixo vertical, que recebe uma aceleração constante a = g / 2 . As hastes que conectam o cursor leve C às barras possuem massas desprezíveis, e o cursor desliza livremente sobre seu eixo. A mola possui uma rigidez k = 130   N / m e está sem compressão para o posição equivalente a θ = 0 ° . Calcule o ângulo θ assumido pelas barras na condição de aceleração constante.

Passo 1

Primeiramente vamos fazer a representação do nosso sistema, posicionando-o com as forças e aceleração atuantes, de modo que possa auxiliar nossa interpretação:

Passo 2

Em seguida, como trata-se de um movimento infinitesimal, vamos tratar de usar a equação de trabalho e energia correspondetes:

d U ' = d T + d V

Da figura que esboçamos no P a s s o   1 , podemos ver claramente que o único tipo de energia proveniente na condição inicial, é a potencial δ V , a qual é proveniente das duas forças peso m g que ilustramos:

d U ' = 2 m g ( - d y )

Substituindo os valores numéricos que já temos, chegamos ao seguinte valor:

d U ' = 2 ( 2 k g ) ( 9,81   m / s 2 ) ( - d y )

d U ' = - 39,24   d y  

Só que da figura tiramos que:

y = 0,200 cos ⁡ θ

Derivando essa expressão:

d y = - 0,200 sen ⁡ θ d θ

Obtemos então, que:

d U ' = - 39,24 ⋅ ( - 0,200 sen ⁡ θ d θ )

d U ' = 7,85 sen ⁡ θ d θ

Passo 3

Em seguida, analisemos a condição em que o cursor desliza livremente sobre seu eixo na condição final. A energia cinética infinitesimal nesse caso é dada por:

d T = ∑ m a -   d y

E como temos a presença de duas barras agindo no noss sistema, com aceleração a - = g / 2   , chegamos até o seguinte fato:

d T = 2 2 k g 9,81   m / s 2 2 d y    

d T = 19,62   d y

Só que já sabemos que:

d y = - 0,200 sen ⁡ θ d θ

Obtemos então, que:

d T = 19,62 ⋅ ( - 0,200 sen ⁡ θ d θ )

d T = - 3,92 sen ⁡ θ d θ

Passo 4

E a energia potencial presente da força elástica na condição final, que chamaremos de d V E , em condições de deslocamento infinitesimal, é dada por:

d V E = k x d x

Da figura do P a s s o   1 , tiramos que o deslocamente da mola vai ser dado por:

x = 2 ( 0,200 - 0,200 cos ⁡ θ )

E consequentemente:

d x = 0,400 sen ⁡ θ d θ

Logo, obtemos que:

d V E = k ⋅ 2 0,200 - 0,200 cos ⁡ θ ⋅ ( 0,400 sen ⁡ θ d θ )

d V E = ( 130   N / m ) ⋅ 2 0,200 - 0,200 cos ⁡ θ ⋅ ( 0,400 sen ⁡ θ d θ )

d V E = 20,8 ( 1 - cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ d θ

Passo 5

Por fim, o que temos que fazer é igualar as energias final e inicial:

d U ' = d T + d V E

7,85 sen ⁡ θ d θ = - 3,92 sen ⁡ θ d θ + 20,8 ( 1 - cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ d θ

7,85 sen ⁡ θ d θ + 3,92 sen ⁡ θ d θ = 20,8 ( 1 - cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ d θ

11,77 d θ = 20,8 ( 1 - cos ⁡ θ ) d θ

11,77 20,8 = ( 1 - cos ⁡ θ )

cos ⁡ θ = 20,8 - 11,77 20,8

θ = cos - 1 ⁡ 9,03 20,8

θ ≅ 64,3 °

Resposta

θ ≅ 64,3 °

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Determine a velocidade angular das duas barras de 10 kg quando θ = 180 ° , se elas são liberadas do repouso na posição θ = 60 ° . Despreze o atrito.
Se o canto A da placa de 60 kg é submetido a uma força vertical P = 500 N, e a placa é liberada do repouso quando θ = 0 ° , determine a velocidade angular da placa quando θ = 45 ° .
Se o balde de 25 kg é solto do repouso, determine sua velocidade após haver caído a uma distância de 3 m. O sarilho A pode ser considerado como um cilindro de 15 kg, enquanto seus raios são barras fin
A escada de 15 kg está colocada contra a parede em um ângulo de θ = 45 ° , como mostrado. Se ela é liberada do repouso, determine sua velocidade angular no instante imediatamente anterior a θ = 0 ° .
Determine a velocidade angular das duas barras de 10 kg quando θ = 9 0 ° , se elas são liberadas do repouso na posição θ = 60 ° . Despreze o atrito.