Enunciado

17. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois estados de tensão sucessivos mostrados na figura. Determine o estado de tensão resultante representado no elemento orientado como mostrado à direita.

Passo 1

Fala aí galerinha do RespondeAí! Tudo certinho?

Bom! A questão dá dois elementos orientados de diferentes ângulos, e pede o estado de tensão resultante dos dois.

Como mostrado na própria figura, com aquele símbolo de ( + ) o que temos que fazer é girar os dois elementos para caírem na orientação do terceiro e depois somar as tensões que aparecerem em cada componente.

Bora!

Passo 2

Vamos lá calcular as tensões para o primeio elemento! Da figura do enunciado, obtemos que o estado plano nos fornece os seguintes dados:

σ x = - 200   M P a , com valor negativo, uma vez que é uma tensão normal de compressão.

σ y = - 350   M P a , com valor negativo, uma vez que é uma tensão normal de compressão.

τ x y = 0   M P a , uma vez que não aparecem as famosas setas de tensão cisalhantes na nossa figura.

Ao olhar nossa figura do enunciado vemos que ela faz um ângulo de 60 ° com a horizontal.

Temos então, que para deixar esse elemento na orientação do terceiro, vamos rotacioná-lo de um ângulo θ = 60 ° , no sentido anti-horário, portanto, positivo.

Para ver isso, você pode imaginar que pegou o quadradinho na mão. E vai girar ele para ficar com a orientação do teceiro quadradinho. Aí você olha em que sentido ele girou. Cê pode tanto girar ele no sentido horário de 30 ° ou no anti-horário de 60 ° como fizemos. Beleza? Bora!

Passo 3

Ora bolas! Vamos, então, aplicar as fórmulas de transformação de tensão que já conhecemos, para encontrar nossos valores no primeiro elemento:

σ x , 1 ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y , 1 ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' , 1 = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

E sabemos também o valor das seguintes variáveis:

σ x = - 200   M P a

σ y = - 350   M P a

τ x y = 0   M P a

θ = 60 °

Por fim, só nos resta substituir esses valores nas três expressões das tensões acima, para encontrar quanta vale cada uma.

σ x , 1 ' = - 200   M P a - 350   M P a 2 + - 200   M P a - ( - 350   M P a ) 2  cos ⁡ 60 °

σ y , 1 ' = - 200   M P a - 350   M P a 2 - - 200   M P a - ( - 350   M P a ) 2  cos ⁡ 60 °

τ x ' y ' , 1 = - - 200   M P a - 350 M P a 2 sen ⁡ 60 °

E encontramos que:

σ x , 1 ' = - 237,5   M P a

σ y , 1 ' = - 312,5   M P a

τ x ' y ' , 1 = 64,95   M P a

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as tensões para o outro elemento. Analisando a figura do enunciado, tiramos os seguintes dados no estado plano desse elemento:

σ x = 0   M P a , uma vez que não há nenhuma tensão normal na horizontal

σ y = 0   M P a , uma vez que não há nenhuma tensão normal na vertical.

τ x y = 58   M P a , com valor positivo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o primeiro e terceiro quadrantes.

Ao olhar nossa figura do enunciado vemos que ela faz um ângulo de 25 ° com a horizontal.

Temos então, que para deixar esse elemento na orientação do terceiro, vamos rotacioná-lo de um ângulo θ = 25 ° , no sentido anti-horário, portanto, positivo.

Passo 5

Basta, então, que apliquemos novamente as fórmulas de transformação de tensão que já conhecemos, para encontrar nossos valores pro segundo elemento:

σ x , 2 ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y , 2 ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' , 2 = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

E sabemos também o valor das seguintes variáveis:

σ x = 0   M P a

σ y = 0   M P a

τ x y = 58   M P a

θ = 25 °

Por fim, só nos resta substituir esses valores nas três expressões das tensões acima, para encontrar quanta vale cada uma:

σ x , 2 ' = 0 2 + 0 2  cos ⁡ 50 ° + 58   M P a sen ⁡ 50 °

σ y , 2 ' = 0 2 - 0 2  cos ⁡ 60 ° - 58   M P a sen ⁡ 50 °

τ x ' y ' , 2 = - 0 2 sen ⁡ 60 ° + 58   M P a cos ⁡ 50 °

E encontramos que:

σ x , 2 ' = 44,43   M P a

σ y , 2 ' = - 44,43   M P a

τ x ' y ' , 2 = 37,28   M P a

Passo 6

Para encontrar as tensões resultantes, basta agora somar os resultados obtidos nos P a s s o s   3 e   5 . Bora lá, que tá quase acabando!

σ x ' = σ x , 1 ' + σ x , 2 '

σ y ' = σ y , 1 ' + σ y , 2 '

τ x ' y ' = τ x ' y ' , 1 + τ x ' y ' , 2

Substuindo os valores obtidos, temos que:

σ x ' = - 237,5   M P a + 44,43   M P a

σ y ' = - 312,5   M P a - 44,43   M P a

τ x ' y ' = 64,95   M P a + 37,28   M P a

E chegamos até:

σ x ' ≅ - 193   M P a

σ y ' ≅ - 357   M P a

τ x ' y ' ≅ 102   M P a

Resposta

Tensões resultantes:

σ x ' ≅ - 193   M P a

σ y ' ≅ - 357   M P a

τ x ' y ' ≅ 102   M P a

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