Enunciado

A figura mostra o diagrama tensão-deformação de duas barras de poliestireno. Determine a área da seção transversal de cada barra de modo que elas sofram ruptura simultânea quando a carga P = 15   k N é aplicada. Considere que não ocorra nenhuma flambagem.

Passo 1

Oláaa, querido! Tá bem?

Então, ele deu esse gráfico que mostra o comportamento do material que forma a estrutura. O gráfico mostra que a tensão de ruptura quando o material está sob compressão é σ c = 175   M P a e a tensão de ruptura para a tensão de tração é σ t = 35   M P a .

Aí ele quer saber as seções transversais de cada barra para que ambas estejam na eminência de ruptura quando P = 15   k N .

Como a gente faz isso? Bem, a gente vai descobrir a força normal interna em cada uma das barras, vê qual está em tração e qual está em compressão. E usar essas tensões limites para saber o valor da área transversal de cada uma.

Bora lá!

Passo 2

Primeira coisa é achar as forças nas barras. Olha nosso diagrama de corpo livre:

Percebe que a gente colocou as forças que queremos achar logo na direção das forças normais a cada barra, e na seção cortada de cada barra. Aí fica mais tranquilo ver quem é força de compressão e quem é de tração.

E que a gente viu que o comprimento de A B é 1,5   m , porque A B C é um triângulo do tipo 3/4/5.

Passo 3

Vamos aplicar a equação de momento para C considerando o anti-horário positivo:

∑ M c = 0 → - 1,2 P + 0,9   F a b   s e n   θ = 0

O seno a gente acha pelo triângulo A B C . Dele temos que

s e n   θ = 1,2 1,5

Substituindo:

- 1,2 P + 0,9   F a b   1,2 1,5 = 0

F a b = 1,667 P

F a b = 1,677 15   k N

F a b = 25   k N

Percebe que como deu positivo, a orientação que a gente escolheu é a real. E como o nosso vetor F a b entra na seção da barra, ela é uma força de compressão.

Passo 4

Agora o equilíbrio na direção horizontal:

∑ F x = 0 → F a b sen ⁡ θ - F c b = 0

F a b × 1,2 1.5 - F c b = 0

Substitiundo a expressão de F a b que temos:

25   × 1,2 1.5 - F c b = 0

F c b = 20   k N

Como deu positivo, nosso vetor F c b está na direção certa. E já que ele sai da seção, temos tração em C B .

Passo 5

Belezinha, agora que a gente tem a expressão das forças em cada barra, vamos achar as áreas tranversai de cada uma.

A barra A B está sofrendo compressão, então a tensão de ruptura dela é

σ c = 175   M P a

A ideia é que ela esteja na eminência de romper, então a tensão média nela é essa tensão de compressão limite:

σ c = F a b A a b

Substituindo as expressões que a gente tem e isolando A a b :

A A B = F A B σ A B

A A B = 25   k N 175   M P a = 25   000   N 175   M P a

A A B = 142,86   m m 2  

Repara que usando N e M P a o resultado sai em m m 2 😉

Passo 6

Fazendo o mesmo para B C sabendo que ela está em tração, então:

σ t = 3 5   M P a

σ t = F c b A c b

Substituindo as expressões que a gente tem e isolando A c b :

A C B = F C B σ C B

A C B = 20   k N 35   M P a = 20   000   N 35   M P a

A C B = 571,43   m m 2  

Resposta

A A B = 142,86   m m 2

A C B = 571,43   m m 2

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