Enunciado

16. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

Da figura do enunciado, que mostra um estado plano de tensão, tiramos que:

σ x = - 200   M P a

σ y = 250   M P a

τ x y = 175   M P a

Passo 2

(a) Agora, dado que temos os valores de σ x ,   σ y e τ x y , vamos encontrar as tensões principais como pede o enunciado:

Sabemos que a fórmula das tensões principais tem a seguinte cara:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = - 200   M P a + 250   M P a 2 ± - 200   M P a - 250   M P a 2 2 + ( 175   M P a ) 2

σ 1.2 = 25 ± 285,044   M P a

Concluímos então, que vamos obter duas tensões, uma máxima   σ 1 e outra mínima σ 2 . Voltemos aos nossos cálculos, para obter o resultado.

σ 1 = 25 + 285,044   M P a

σ 1 ≅ 310   M P a

σ 2 = 25 - 285,044   M P a

σ 2 ≅ - 260   M P a

Agora, vamos tratar de encontrar o ângulo, em que nosso elemento vai estar orientado no plano. Sabe-se que a fórmula dele é dada por:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 τ x y σ x - σ y

Bem! Já conhecemos o valor de σ x ,   σ y e τ x y . Só falta substituí-los na fórmula do nosso ângulo:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 τ x y σ x - σ y

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 ( 175   M P a ) ( - 200   M P a - 250   M P a )

tan ⁡ 2 θ p , 1 = - 0,7778

2 θ p , 1 = tan - 1 ⁡ ( - 0,7778 )

θ p , 1 ≅ - 18,9 °

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal máxima σ 1 ≅ 310   M P a .

Mas e o outro ângulo, responsável pela tensão principal mínima σ 2 ≅ - 260   M P a ?

Aí é so lembrar que os dois ângulos estão relacionado por 90 ° . Basta então, somar θ p , 1 com 90 ° , para obter o valor de θ p , 2 :

θ p , 2 = θ p , 1 + 90 °

θ p , 2 ≅ - 18,9 ° + 90 °

θ p , 2 ≅ 71,1 °

Passo 3

(b) Esse letra é meio curiosa, porque já resolvemos ela praticamente inteira na letra (a). Quer ver só?

A fórmula da tensão de cisalhamento máximo no plano, é dada pela letra R e igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Viu só, fizemos esse cálculo na letra (a) e a resposta foi, trocando os valores numéricos adequados, igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = - 200   M P a - 250   M P a 2 2 + ( 175   M P a ) 2

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R ≅ 285   M P a

E a tensão normal média? Também já resolvemos ela na letra (a). Se não acredita, veja só!

A fórmula da tensão normal média σ m é d ,é igual a:

σ m é d = σ x + σ y 2

Também já fizemos esse cálculo na letra (a) e a resposta foi :

σ m é d = - 200   M P a + 250   M P a 2  

σ m é d = 25   M P a

Agora só falta, encontrar o ângulo de cisalhamento θ s , 1 no plano. Sabemos que ele tem a seguinte cara:

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - σ x - σ y 2 τ x y

Vamos substituir os valores numéricos adequados e encontrar nosso ângulo:

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - - 200   M P a - 250   M P a 2 175   M P a

tan ⁡ 2 θ s , 1 = 1,2857

2 θ s , 1 = tan - 1 ⁡ 1,2857

2 θ s , 1 ≅ 52,2 °

θ s , 1 ≅ 26,1 °

Se fossemos representar esse ângulo de cisalhamento em um plano, juntamente com a tensão cisalhante máxima e a tensão normal média iríamos obter a seguinte imagem:

Para encontrar o nosso outro ângulo de cisalhamento θ s , 2 , basta subtrair θ s , 1 , que é positivo, de 90 ° .

θ s , 2 = θ s , 1 - 90 °

θ s , 2 ≅ 26,1 ° - 90 °

θ s , 2 ≅ - 63,9 °

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 310   M P a

σ 2 ≅ - 260   M P a

θ p , 1 ≅ - 18,9 °

θ p , 2 ≅ 71,1 °

(b)

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R ≅ 285   M P a

σ m é d = 25   M P a

θ s , 1 ≅ 26,1 °

θ s , 2 ≅ - 63,9 °

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