Enunciado

19.111. Um pêndulo simples de comprimento l é suspenso de um cursor C que é forçado a mover-se horizontalmente de acordo com a relação x C = δ m sin ⁡ ω f t . Determine o intervalo de valores de f para o qual o movimento do peso seja menor que m. (Considere que m é pequeno comparado com o comprimento l do pêndulo.)

Passo 1

Vamos começar essa questão aqui fazendo uma equação para x , que é a função posição da massa que está pendurada.

Olha só, na imagem a gente pode ver que

x = x C + l sin ⁡ θ

Isso é a mesma coisa que dizer que

sin ⁡ θ = x - x C l

Passo 2

Agora vamos fazer o diagrama de forças

A gente pode fazer uma malandragem no eixo vertical, olha só, como estamos falando de ângulos pequenos nesse problema, podemos dizer que o deslocamento no eixo y é aproximadamente 0.

Δ y ≈ 0

Isso traz algumas consequências interessantes para a gente, como aproximamos para um sistema onde não tem movimento no eixo y , significa que a aceleração no eixo y também é aproximadamente nula.

y ¨ = 0

Agora com a segunda lei de Newton podemos fazer

∑ F y = m y ¨

Logo

∑ F y ≈ 0

E isso leva a uma consequência interessante para a gente

T ≈ P

Em que

P = m g

Só nos resta trabalhar com o eixo x , que é o ponto chave da questão.

∑ F x = - T sin ⁡ θ

Com a segunda lei de Newton temos

m x ¨ = - T sin ⁡ θ

Então a equação de movimento fica

m x ¨ + T sin ⁡ θ = 0

E agora tudo vai começar a se encaixar, porque já tínhamos calculado um valor para sin ⁡ θ

sin ⁡ θ = x - x C l

Então

m x ¨ + T x - x C l = 0

Agora vamos substituir o valor de T

m x ¨ + m g x - x C l = 0

A gente pode melhorar um pouquinho essa equação, primeiro vamos cortar m

x ¨ + g x - x C l = 0

Agora vamos distribuir

x ¨ + g x l - g x C l = 0

x ¨ + g x l = g x C l

Passo 3

Vamos pegar essa equação que a gente desenvolveu agora, e substituir o valor de x C que o enunciado nos dá

x ¨ + g x l = g l δ m sin ⁡ ω f t

Agora as coisas vão começar a ficar interessantes, porque nós temos uma equação para a frequência natural

ω n = g l

Isso é o mesmo que dizer

ω n 2 = g l

Agora vamos substituir isso na equação

x ¨ + ω n 2 x = ω n 2 δ m sin ⁡ ω f t

Beleza, a gente já está chegando em algum lugar. A gente pode calcular a amplitude da vibração assim:

x m = δ m 1 - ω f ω n 2

Isso é o mesmo que dizer que

x m 2 = δ m 2 1 - ω f ω n 2 2

E matematicamente, sabemos que

δ m 2 1 - ω f ω n 2 2 ≤ δ m 2

Claro, estamos considerando que

ω f > ω n

Então

x m 2 ≤ δ m 2

Vamos considerar aqui que

x m 2 = δ m 2

Passo 4

Beleza, agora vamos focar na parte da expressão

1 - ω f ω n 2 2

Isso aqui é obrigatoriamente maior ou igual a 1 , já que sabemos

x m 2 ≥ δ m 2

Então

1 - ω f ω n 2 2 ≥ 1

Aqui podemos já de imediato ver que existem dois valores para que a equação seja

1 - ω f ω n 2 2 = 1

ω f ω n 2 = 0

Ou

ω f ω n 2 = 2

Então, para ser valido a inequação 1 - ω f ω n 2 2 ≥ 1

Os valores não podem estar no intervalo

0 < ω f ω n 2 < 2

Ou

0 < ω f ω n < 2

∴ ω f ω n > 2

Pois vamos pegar apenas os valores positivos, então não pode ser menor que zero.

Logo

ω f > 2 ω n

Então

ω f > 2 g l

Resposta

ω f > 2 g l

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