Enunciado

19.112. Um peso de 1,2 kg de um pêndulo simples de comprimento l 600 mm é suspenso de um cursor C de 1,4 kg. O cursor que é forçado a mover- -se horizontalmente de acordo com a relação xC m sen f t, com uma amplitude m 10 mm e uma frequência ff 0,5 Hz. Determine (a) a amplitude do movimento do pêndulo, (b) a força que deve ser aplicada ao cursor C para manter o movimento.

Passo 1

Vamos começar essa questão aqui fazendo uma equação para x , que é a função posição da massa que está pendurada.

Olha só, na imagem a gente pode ver que

x = x C + l sin ⁡ θ

Isso é a mesma coisa que dizer que

sin ⁡ θ = x - x C l

Passo 2

Agora vamos fazer o diagrama de forças

A gente pode fazer uma malandragem no eixo vertical, olha só, como estamos falando de ângulos pequenos nesse problema, podemos dizer que o deslocamento no eixo y é aproximadamente 0.

Δ y ≈ 0

Isso traz algumas consequências interessantes para a gente, como aproximamos para um sistema onde não tem movimento no eixo y , significa que a aceleração no eixo y também é aproximadamente nula.

y ¨ = 0

Agora com a segunda lei de Newton podemos fazer

∑ F y = m y ¨

Logo

∑ F y ≈ 0

E isso leva a uma consequência interessante para a gente

T ≈ P

Em que

P = m g

Só nos resta trabalhar com o eixo x , que é o ponto chave da questão.

∑ F x = - T sin ⁡ θ

Com a segunda lei de Newton temos

m x ¨ = - T sin ⁡ θ

Então a equação de movimento fica

m x ¨ + T sin ⁡ θ = 0

E agora tudo vai começar a se encaixar, porque já tínhamos calculado um valor para sin ⁡ θ

sin ⁡ θ = x - x C l

Então

m x ¨ + T x - x C l = 0

Agora vamos substituir o valor de T

m x ¨ + m g x - x C l = 0

A gente pode melhorar um pouquinho essa equação, primeiro vamos cortar m

x ¨ + g x - x C l = 0

Agora vamos distribuir

x ¨ + g x l - g x C l = 0

x ¨ + g x l = g x C l

Passo 3

Vamos pegar essa equação que a gente desenvolveu agora, e substituir o valor de x C que o enunciado nos dá

x ¨ + g x l = g l δ m sin ⁡ ω f t

Agora as coisas vão começar a ficar interessantes, porque nós temos uma equação para a frequência natural

ω n = g l

Isso é o mesmo que dizer

ω n 2 = g l

Agora vamos substituir isso na equação

x ¨ + ω n 2 x = ω n 2 δ m sin ⁡ ω f t

Beleza, a gente já está chegando em algum lugar. A gente pode calcular a amplitude da vibração assim:

x m = δ m 1 - ω f ω n 2

O interessante aqui é que sabemos expressões para ω f e ω n .

ω n = g l

E

ω f = 2 π f f

Então

x m = δ m 1 - g l 2 π f f 2

Agora é só substituir os valores que conhecemos, o enunciado nos dá δ m = 10   m m , l = 600   m m e f f = 0,5   H z , então

x m = 0,01 1 - 9,81 0,6 2 π 0,5 2 = 0,02523   m

Ou então

x m = 25,2   m m

E assim respondemos o item (a).

Passo 4

Agora vamos para o item (b). Agora temos que fazer o diagrama de forças no cursor C .

O cursor não se movimenta em y , portanto

∑ F y = 0

Logo

N - m g - T cos ⁡ θ = 0

Mas o que vai nos interessar aqui é o eixo x

∑ F x = F + T sin ⁡ θ

Pela segunda lei de Newton

m x ¨ C = F + T sin ⁡ θ

∴ F = m x ¨ C - T sin ⁡ θ

Vamos recuperar alguns resultados do item (a).

T = m g

sin ⁡ θ = x - x C l

Então temos

F = m x ¨ C - m g x - x C l

Passo 5

A única coisa que não sabemos na equação é x ¨ C ,mas podemos calcular isso derivando x C .

x ¨ C = d d t d d t δ m sin ⁡ ω f t

Isso fica

x ¨ C = d d t δ m ω f cos ⁡ ω f t

Agora é só derivar mais uma vez

x ¨ C = - δ m ω f 2 sin ⁡ ω f t

Agora podemos descobrir o valor de F .

F = m C x ¨ C - m g x - x C l

F = m C - δ m ω n 2 sin ⁡ ω f t - m g x - δ m sin ⁡ ω f t l

Calma, a equação não é tão difícil quanto parece. Vamos dar uma simplificada

F = - m C δ m ω n 2 sin ⁡ ω f t - m g l x + m g l δ m sin ⁡ ω f t

Sabemos que

g l = ω n 2

Então

F = - m C δ m ω n 2 sin ⁡ ω f t - m ω n 2 x + m ω n 2 δ m sin ⁡ ω f t

Logo

F = - m C δ m ω n 2 sin ⁡ ω f t - m ω n 2 x m sin ⁡ ω f t + m ω n 2 δ m sin ⁡ ω f t

F = sin ⁡ ω f t - m C δ m ω n 2 - m ω n 2 x m + m ω n 2 δ m  

Agora é só substituir o valor de tudo.

ω n 2 = g l = 9,81 0,6 = 16,35 δ m = 0,01 ω f = 2 π f n = 2 π 0,5 = π m C = 1 , 4 m = 1,2 x m = 0,02523  

Isso tudo fica

F = sin ⁡ π t - 1,4 0,01 16,35 - 1,2 16,35 0,02523 + 1,2 16,35 0,1  

Então

F = - 0,437 sin ⁡ π t   N

Resposta

F = - 0,437 sin ⁡ π t   N

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