Enunciado

204- A determinação exata da posição vertical do centro de massa G de um navio é difícil de ser obtida por cálculo. Ela é mais facilmente obtida por um experimento simples de inclinação do navio carregado. Fazendo referência á figura, uma massa externa conhecida, m 0 . É colocada a uma distância d da linha de centro e o ângulo de adernagem θ é medido por meio da deflexão de um prumo de chumbo. O deslocamento do navio e a posição do metacentro M são conhecidos. Calcule a altura do metacentro G M - para um navio de 12000   t , inclinado devido a uma massa de 27   t colocada a 7.8   m da linha de centro, se um prumo de chumbo com 6   m de comprimento é defletido de uma distância a = 0.2   m . A massa m 0 está a uma distância b = 1.8   m acima de M . [Observe que a tonelada métrica ( t ) é igual a 1000   k g e equivale ao megagrama (Mg) ]

Passo 1

Além do sistema de forças precisamos traçar muito bem a geometria do problema, uma vez que precisaremos determinar o ângulo θ para poder achar a distância G M que o problema quer.

Inicialmente podemos calcular θ pelo deslocamento do prumo de chumbo que nos dará um triângulo retângulo tal que:

sin ⁡ θ = a l

Onde a é a deflexão horizontal do mesmo e que foi dado, que valerá 0.2   m e l o comprimento total que vale 6   m , logo:

sin ⁡ θ = 0.2 6 → θ = 1.91 °

Passo 2

Com esse ângulo vamos dar um zoom na figura e conseguir tirar as medidas que queremos:

Se fizermos a somatória dos momentos em M temos a seguinte expressão:

m 0 g x = m g r

m 0 x = m r

Onde r se tira do triângulo formado pela hipotenusa G M que nos dá:

sin ⁡ θ = r G M → r = G M sin ⁡ θ

E x pela soma de s e t tal que:

sin ⁡ θ = t b → t = b sin ⁡ θ

cos ⁡ θ = s d → s = d cos ⁡ θ

Logo

x = d cos ⁡ θ + b sin ⁡ θ

Como d = 7.8 e b = 1.8 temos:

x = 7.8 cos ⁡ 1.91 + 1.8 sin ⁡ 1.91 = 7.856   m

Passo 3

Substituindo os resultados na relação do momento temos com m 0 = 27   t e m = 12000 :

27 × 7.856 = 12000 × G M sin ⁡ ( 1.91 )

G M = 0.53   m

Resposta

G M = 0.53   m

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